もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 前回はド・モアブルの公式を使って三角関数の 倍角の公式を導きましたが、そこで導いた公式では が混在した式になっていました。 今回は別の方法で もしくは にもう少し統一された公式を導きます。 できうる限り …

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 数年前に高校数学で複素数で学ぶことが拡充され（というか復活して）ド・モアブルの公式（ド・モアブルの定理）をやるようになりましたが、この公式はオイラーの公式を知ってると簡単に理解できます（むしろオイラ…

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ（目次）。 今回は2次元での中心力ポテンシャル系、つまりポテンシャルが動径 にのみ依存する系を考えます。中心力ポテンシャルを とおくと、シュレディンガー方程式は となります。 「ラプラシアンの極座標表示 ： 2…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 『シュレディンガー方程式を解こう ～調和振動子～』に関する補足記事でもあります。 この記事ではなるべく生成・消滅演算子の前提知識なしにシュレディンガー方程式の解を求めてみます。適当に変数を書き換…

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ（目次）。 今回は調和振動子。調和振動子のシュレディンガー方程式は生成・消滅演算子による定式化の知識を使わずに解くこともできますが、固有関数の規格化や直交性を示そうと思うと結局この定式化と同じようなこと…

座標演算子と運動量演算子の交換関係から始めて、生成・消滅演算子、個数演算子、個数演算子の固有状態などを簡単に見ていきます。 交換関係の計算には「角運動量演算子の交換関係」の記事で導いた交換関係の公式（反可換性、分配法則、ライプニッツ則）など…

以前の記事で の高階導関数を の多項式で表したときの係数を、表を使って計算する方法を見ました。 今回はその結果を踏まえて、係数を与える式を導きたいと思います。 ただ、完全に一般的には出せていなくて、一部だけの表式となります。 の最高次の係数まず…

以下のような積の和を一般に与える公式を導きます。 参考 『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』 概要後でもう少し一般化した場合を導出しますが、 の場合に算数っぽく導出しておきます。 まずは の場合。 角括弧内の第1項内の1つ目の項 と第2項内の2つ…

Twitter の TL 上に をどんどん微分していくツイートが流れてたのだが、こんな感じにやればいいんじゃないかという方法があるので書いてみます。準備 の微分は高校数学でやりますね（数学IIIなのでやらない人もいるかな）。 また、後で使うこんな公式も数学I…

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ（目次）。 今回は1次元で井戸型ポテンシャルによって束縛状態になっている系を解いてきます。時間に依存しないシュレディンガー方程式は でした（1次元で変数が1つなので、偏微分ではなく常微分にしています）。【こ…