もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 今回は三角関数の逆関数である逆三角関数の導関数を計算します。逆三角関数は角度にあたる値域に制限を加える必要がありますが、その制限は各逆三角関数の箇所で指定しています。 たぶんここで指定している制限は…

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。 三角関数の加法定理は高校数学で主要な公式ですが、これを2度使って3つの角度を加える公式も簡単に導くことができます。 まぁ、高校数学の演習問題レベルで、結果を覚えるほどの公式ではありませんが、3つの角度を…

以前に三角関数の公式を復習するシリーズ記事（『三角関数の公式を復習する (1) ： 三角関数の定義と相互関係』に目次あり）を書きましたが、これらは一応高校数学の範囲内の話でした（高校で出てこない3つの三角関数の公式も導いてますが）。このシリーズで…

三角関数の公式を復習するシリーズ（目次）。 高校数学で三角関数を含む積分をあれこれ計算できるようになるには多少の演習が必要かと思いますが、問題集をやる前に のような各三角関数の冪乗の積分をある程度できるようになっておいた方がいいでしょう。 こ…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回はベッセル関数や変形ベッセル関数の での漸近的な振る舞いを見ていきます。 ベッセル関数の漸近展開にはいくつか種類があるようですが、今回見ていくのはハンケルの漸近展開というものです（たぶん一番…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 前回、変形ベッセル関数の公式をいくつか導きましたが（追記あり）、今回は、そこで出てきたパラメータ が半奇数の場合の公式をもう少し深く掘り下げていきます。前回導いた公式変形ベッセル関数は、パラメ…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回はベッセル関数の眷属である変形ベッセル関数。 定義と微分公式、パラメータ が半奇数の場合の式を見ていきます。これらの公式は基本的に『ベッセル関数の公式』で導いたものから容易に導くことができま…

なんか Twitter の TL に流れてたけど、どうもその流れでの説明があってるのかどうかよく分からなかったので、きちんと計算してみる。問題 のとき を計算する。 は各変数で微分可能な任意関数。証明 を の に関する原始関数とする、つまり ただし、 は 積分…

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回はベッセルの微分方程式 のロンスキアン（『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ～ロンスキアン・自己随伴化～』参照）をベッセル関数の満たす公式から導きます。 ロンスキアンを微分方程式から…

特殊関数の公式を証明していく記事が増えていきそうなので目次記事を作っておきます。 一般論 『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ～ロンスキアン・自己随伴化～』 ガンマ関数・ベータ関数 『とあるガンマ関数の公式目録』 『ガンマ関数とベータ関…