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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

続・正接関数 tan θ の高階導関数

以前の記事で の高階導関数を の多項式で表したときの係数を、表を使って計算する方法を見ました。 今回はその結果を踏まえて、係数を与える式を導きたいと思います。 ただ、完全に一般的には出せていなくて、一部だけの表式となります。 の最高次の係数まず…

階乗冪の和の公式

以下のような積の和を一般に与える公式を導きます。 参考 『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』 概要後でもう少し一般化した場合を導出しますが、 の場合に算数っぽく導出しておきます。 まずは の場合。 角括弧内の第1項内の1つ目の項 と第2項内の2つ…

正接関数 tanθ の高階導関数

Twitter の TL 上に をどんどん微分していくツイートが流れてたのだが、こんな感じにやればいいんじゃないかという方法があるので書いてみます。準備 の微分は高校数学でやりますね(数学IIIなのでやらない人もいるかな)。 また、後で使うこんな公式も数学I…

シュレディンガー方程式を解こう ~井戸型ポテンシャルによる束縛状態~

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ(目次)。 今回は1次元で井戸型ポテンシャルによって束縛状態になっている系を解いてきます。時間に依存しないシュレディンガー方程式は でした(1次元で変数が1つなので、偏微分ではなく常微分にしています)。参考…

シュレディンガー方程式を解こう ~目次~

学部でやるような量子系のシュレディンガー方程式を解いていくシリーズの目次。ハミルトニアンを 、状態ベクトルを とすると、時間に依存するシュレディンガー方程式 (Schrödinger equation) は で与えられるのでした。 このシリーズ記事では、基本的にハミ…

懸垂曲線の方程式を導く

ひもの両端を持って垂らしたときにできる曲線を懸垂曲線(wikipedia:カテナリー曲線 catenary)といいますが、この曲線の方程式を導いてみます。 結果は双曲線関数の1つ を使って表されます。高校時代にどこかで導出を読んだ覚えがあるんですが、その過程で…

量子ビットの測定についての計算メモ(n 個の場合)

前回の続き。 今回こそは n-qubit 系をやります。この記事では、n-qubit 系の状態のラベルを2進数とみなして、それを10進数に直したラベルで状態を表す場合に、二重の三角括弧を使うことにします。 例えば 3-qubit 系で という状態を と表すことにします。以…

量子ビットの測定についての計算メモ(1, 2 個の場合)

この記事では、1 qubit 系の一般的な正規直交基底 、ただし を用いて n-qubit 系の中の1つの qubit を測定したときに、得られる状態とその確率を計算します。この正規直交基底は、 のとき標準基底 、 のときアダマール基底に対応します。ちなみに、状態のラ…

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.14

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.13

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.12

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.11

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.9

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.8

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.7

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.6

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.5

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.4

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.3

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.2

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 3.1

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.4

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.3

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.2

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.1

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.14

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.13

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.12

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.11

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.10

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.9

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.8

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.7

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.6

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.5

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.4

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.3

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.2

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.1

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く ~目次~

単なる読書メモです。I. QUANTUM BUILDING BLOCKS 2. Single-Qubit Quantum Systems 2.1 / 2.2 / 2.3 / 2.4 / 2.5 / 2.6 / 2.7 / 2.8 / 2.9 / 2.10 / 2.11 / 2.12 / 2.13 / 2.14 3. Multiple-Qubit Systems 3.1 / 3.2 / 3.3 / 3.4 / 3.5 / 3.6 / 3.7 / 3.8 /…

素数の Lucas テスト

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回はメルセンヌ数(Mersenne Number)が素数であるかどうかを判定するリュカ・テスト (Lucas–Lehmer primality test) を見ていきます。メルセンヌ数とは を素数とし…

素因数分解

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 前回、素数列を生成するアルゴリズムを見ましたが、今回は素因数分解 (factorization into primes) をするアルゴリズムを見ていきます。参考 『Javaによるアルゴリズ…

素数

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 ちょっと別用で素数 (prime number) を生成するコードを書いたので、こちらのブログで整理しておきます。 別用記事で見たように Int や Long に対してなら2行で書けま…

2次元の Laplace - Runge - Lenz ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、ケプラー問題でエネルギーや角運動量以外に保存される Laplace - Runge - Lenz ベクトル(以下、ラプラス・ベクトル)の2次元版を見ていきます。『ケプラー問題のある保存ベクト…

ケプラー問題のある保存ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 ケプラー問題ではエネルギーと角運動量以外に保存されるベクトルが存在することが知られています。 今回は簡単にこのベクトルについて見ていきましょう。 このベクトルを使うと比較的簡単…

『君の名は。』の彗星は反重力物質である可能性

こういう系の記事を書くときは大体機を逸している気がしますが、DVD/Blu-ray の発売とか地上波放送とかあるだろうから書いときます。 ちなみに、拙者は『君の名は。』を観てないので劇中の設定とか全く分からず書いてます。前置き的記事はこちら。 jin115.co…

2次元のケプラー問題(斥力の場合)

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 数回の記事で、万有引力を念頭に、逆2乗法則の引力の場合に2次元のケプラー問題の運動や軌跡を解きました。 今回は斥力の場合に運動や軌跡がどうなるかを見ていきます。 万有引力には斥力…

2次元のケプラー問題 ~双曲線軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はケプラー問題で の場合の運動を求めます。 このときの質点の軌跡は双曲線となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 との関係は以下で与えられるのでし…

2次元のケプラー問題 ~楕円軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は『2次元のケプラー問題』記事の続きで、 の場合を行います。 このとき、離心率 は となり、楕円軌道となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 は で関…