倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

オイラーの公式

オイラーの公式とド・モアブルの公式と三角関数の n 倍角の公式と

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 数年前に高校数学で複素数で学ぶことが拡充され(というか復活して)ド・モアブルの公式(ド・モアブルの定理)をやるようになりましたが、この公式はオイラーの公式を知ってると簡単に理解できます(むしろオイラ…

二項係数を含む級数の公式とパスカルの三角形 案外、奥が深いようで

『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載ってる、二項係数を1つ含む級数の公式を導いてみます。 前々回、前回に二項係数を2つ含む級数の公式をあれこれ導いたので、ちょっと順番が前後しますが。確認二項係数は階乗を使って以下のように定義されるので…

オイラーの公式を高校数学に役立てる ~和積・積和の公式編~

以前の記事「オイラーの公式と三角関数の加法定理」でオイラーの公式 から三角関数の加法定理や倍角、三倍角の公式を導きましたが、同様にして積和の公式、和積の公式も導けるのでやってみます。積和の公式まずは和積の公式。 これは三角関数の積を和に変換…

オイラーの公式を高校数学に役立てる ~積分編~

以前の記事でオイラーの公式 を使って三角関数の加法定理に関連する公式を導きました。 今回はこのオイラーの公式を用いて、三角関数と指数関数を含む積分を求める方法を見ていきます。 今回見ていく積分は以下の形のもの: 正弦を余弦に変えたものも同じ方…

双曲線関数の冪級数展開

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 三角関数の場合と同じように、冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。 指数関数の冪級数展…

三角関数の冪級数展開

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 今回は高校数学の範囲を超えていますが、三角関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 ここでは冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。指数関数の冪…

指数関数の冪級数から指数法則を導く

以前の記事で、オイラーの公式を使って三角関数の加法定理を導きましたが、その導出では指数関数の性質として指数法則の1つ を使っていました。 ただし、引数が複素数(純虚数)の場合にそれが成り立つのは自明ではありません。 この記事では実際にそれが成…

オイラーの公式と三角関数の加法定理

高校数学ではオイラーの公式 は学習しませんが、それを使って三角関数の加法定理などを導く方法はよく知られていると思います。 この記事でもベタに加法定理や倍角の公式を導いてみます。加法定理まずは一番よく知られていて、また他の公式の基本になる三角…