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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

指数法則と指数関数では底に課される制限が違うよ

ちょっと高校の頃にはあやふやだったなぁという回顧のエントリ。 指数法則や指数関数を考えるときに、底にどのような制限がつくかを整理してみます。 この記事中では、特に断らない限り自然数に0を含めます。1以上の自然数の指数 を実数、 を1以上の自然数と…

ベクトル解析の公式あれこれ ~微分編~

前回のベクトルの公式に続いて、今回はベクトル解析(ベクトルを微分・積分する)の公式をいくつか紹介 & 証明。 今回扱うのは微分のみ。参考 『理論電磁気学』 『解析入門 (2) 基礎数学 3』 準備 をスカラー場とし、 をベクトル場とする。 その他の記法や公…

ベクトルの公式あれこれ ~大学編~

大学の理系学部初期に線型代数や物理数学で出てくるベクトルの公式をいくつか紹介 & 証明参考 『理論電磁気学』 『齋藤正彦線型代数学』 準備ここでは3次元のベクトルのみを扱い太字で書きます。 成分を書き下す場合は縦ベクトルとして書きます: ベクトルの…

x^n - 1 の因数分解

高校数学にも出てきてそうな の因数分解について少々。 係数は整数の範囲で。 ガロア理論知ってる人には常識っぽい話かもしれませんが。因数 とりあえず任意の について なので、因数定理より は を因数に持ちますね。 この因数でくくると となります。 後の…

とある高校数学の3元3次恒等式

公式この記事では、以下の3元3次恒等式を証明します。 以前の記事では、右辺を展開することで示しましたが、ここでは左辺を因数分解していきます。証明準備まず準備として、2元3次式の恒等式を1つ証明しましょう。 次のような公式です: これは3乗の和を変形…

6次の因数分解を考える

確認まずは、後で使う2次と3次の因数分解の公式を確認しておきましょう。2次の因数分解の公式平方の差の因数分解公式: 3次の因数分解の公式立方の和と差の因数分解公式: 6次の因数分解さて、上記の公式を使って、6乗の差を因数分解してみましょう: この因…

とある高校数学の高次恒等式

今回は3次方程式の解の公式を導くのに使う3次の恒等式を導きます。 この恒等式は解の公式を導く以外にもしばしば使われるので、学生要チェック。3元3次式の因数分解の公式以下の恒等式(因数分解の公式)が成り立つ: 証明ここでは右辺を x の多項式として展…

2次方程式の解の公式を導く

2次方程式の解の公式は中学くらいで学習する公式で、高校数学でもよく使いますが、意外とその導出を自分の手でした人は少ないんじゃないでしょうか? ってことで、ちょっと実際にやってみます。2次方程式の解の公式とは2次方程式の解の公式とは、 を定数とし…

高校数学で導く3次方程式の解の公式

高校数学では2次方程式の解の公式までしか学習しませんが、3次方程式の解の公式も高校数学の範囲内で導くことができます。 ここでは、解ける形の方程式から順々に一般的な形にしていきます(一覧)。 ・・・(この記事) ・・・(この記事) ・・・(次回) …