読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の n 倍角の公式を導く ~余弦編~

前回はド・モアブルの公式を使って三角関数の 倍角の公式を導きましたが、そこで導いた公式では が混在した式になっていました。 今回は別の方法で もしくは にもう少し統一された公式を導きます。 できうる限り を用いるかもしくは を用いるかで公式にいく…

オイラーの公式とド・モアブルの公式と三角関数の n 倍角の公式

数年前に高校数学で複素数で学ぶことが拡充され(というか復活して)ド・モアブルの公式(ド・モアブルの定理)をやるようになりましたが、この公式はオイラーの公式を知ってると簡単に理解できます(むしろオイラーの公式に触れない方が不自然)。 この記事…

続・正接関数 tan θ の高階導関数

以前の記事で の高階導関数を の多項式で表したときの係数を、表を使って計算する方法を見ました。 今回はその結果を踏まえて、係数を与える式を導きたいと思います。 ただ、完全に一般的には出せていなくて、一部だけの表式となります。 の最高次の係数まず…

正接関数 tanθ の高階導関数

Twitter の TL 上に をどんどん微分していくツイートが流れてたのだが、こんな感じにやればいいんじゃないかという方法があるので書いてみます。準備 の微分は高校数学でやりますね(数学IIIなのでやらない人もいるかな)。 また、後で使うこんな公式も数学I…

懸垂曲線の方程式を導く

ひもの両端を持って垂らしたときにできる曲線を懸垂曲線(wikipedia:カテナリー曲線 catenary)といいますが、この曲線の方程式を導いてみます。 結果は双曲線関数の1つ を使って表されます。高校時代にどこかで導出を読んだ覚えがあるんですが、その過程で…

逆双曲線関数を対数関数で表す

双曲線関数は基本的に単なる指数関数なので(『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係』参照)、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。 を対数関数で表す とおくと 、これを指数関数で書き換えると つまり となりま…

2次無理関数のとある積分公式

この記事では、以下の積分 を実行してみます。 結果が実数関数であることを要請すると、 の値によって の範囲に制限が出てくる場合があるのでちょっと面倒。 後のために、被積分関数の平方根の中を平方完成しておきましょう: では、いくつかの場合に分けて…

36°の三角比

ちょっと後日使うので36°の三角比の値を求めてみます。 高校数学レベルの問題。 ここでは正五角形を使って図形的に求める幾何学的方法と、36°が満たす三角方程式を解く代数的方法代を見ていきます。幾何学的方法1辺の長さが1の正五角形を考えます。 対角線の…

spire (Scala) での円周率の計算 Machin (マチン)の公式

spire という Scala 用の数学ライブラリがあるんですが、そのコードで円周率の値を計算をするために Machin (マチン)の公式というのを使ってたので、その公式が正しいことを計算で確かめてみます。Machin の公式は で与えられます。 は逆正接関数で、これ…

一般化された超幾何関数はどのくらい一般化されているのか?

前回、一般化された超幾何関数という関数の定義を見ました: 今回は、いろいろな関数がこの一般化された超幾何関数を使って表すことができることを見ていきましょう。ポッホハマー記号の値あれこれまず、後で使うポッホハマー記号と階乗などの関係式を導いて…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (12) : 双曲線関数の積分

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 前回の微分に続き、今回は双曲線関数の積分を見ていきます。 微分の場合と同様に、基本は指数関数の積分 です。 なお、積分定数は省略します。 は常に正なので、最後の行では絶対値を落としてます。 公式まと…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (11) : 双曲線関数の微分

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 そろそろ数学IIIの範囲に入っていきましょう。 実質的に微分を行う関数は指数関数のみです。 双曲線関数は指数関数によって以下のように定義されているのでした: この定義式を微分していきます。 虚数単位が…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (10) : 双曲線関数 tanh の加法定理 再考

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 以前に双曲線関数の加法定理を導きましたが、 の加法定理は積和の公式を使うと別の形にまとめることができます。 三角関数の場合と同様にして これまた三角関数の場合と同様に、 の置き換えをして負の引数の公…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (9) : 双曲線関数の和積の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の和積の公式を見ていきます。 和積の公式は前回導いた積和の公式を逆に解いただけの公式です。 双曲線関数の場合も三角関数の場合と同様です。 積和の公式 に対して三角関数の場合に導入した…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (8) : 双曲線関数の積和の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の積和の公式を見ていきます。 積和の公式とは、双曲線関数の積( など)を和( など)で表す公式です。 元になっているのはやはり以前導いた加法定理です。 双曲線関数の積和の公式も三角関…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (7) : 双曲線関数の合成

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の合成を見ていきます。 三角関数の場合と同様、合成で使うのはやはり加法定理です。 加法定理を最初に学習したときは、それを使って展開もしくは分解のようなことを行いますが、合成は逆に複…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (6) : 双曲線関数の三倍角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の三倍角の公式を見ていきます。 双曲線関数の三倍角の公式も三角関数の場合と導き方は同様です。正弦 余弦 正接 三角関数の三倍角の公式と、純虚数の引数を使った方が簡単に導けるかも。公式…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (5) : 双曲線関数の半角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 前回の倍角の公式に続いて、今回は半角の公式を見ていきます。 双曲線関数の半角の公式も、導き方は三角関数の場合とほとんど同じで、使う公式はやはり の倍角の公式です。 まずは の半角の公式を導きましょう…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (4) : 双曲線関数の倍角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は加法定理からすぐに導ける倍角の公式を導きます。 双曲線関数は引数が角度じゃないので“倍角”と言っていいのかわからないけど、面倒なので“倍角”の公式で通します。 次回以降の記事も同様。 双曲線関数…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (3) : 双曲線関数の加法定理

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は三角関数でも双曲線関数でも重要な定理である加法定理を見ていきます。三角関数の場合はこちら。双曲線関数の加法定理では、三角関数の加法定理を踏まえて双曲線関数の加法定理を導いてみましょう。 指…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (2) : 負の引数、純虚数の引数

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数が負の引数、純虚数の引数の場合にどうなるかを見ていきます。 もう少し正確に言うと、引数が ( は虚数単位)である場合の関数値を、引数が の場合の関数値で表そうということです。 ちなみに…

もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係

今回から何回かにわたって双曲線関数 (hyperbolic functions) を見ていきます。 双曲線関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 双曲線関数の加法定理 双曲線関数の倍角の公式 双曲線関数の半角の公式 双曲線関数の三倍角の公式 双曲線関数の合成 双曲…

三角関数の公式を復習する (12) : 三角関数の積分

今回は三角関数の積分(目次)。正弦 微分の逆と思えば結果が になるのはすぐ分かりますが、一応、定義から計算してみました。余弦 正弦の積分の場合と同様、結果が になるのは微分の場合から分かってますけど。正接 正接の積分は置換積分の簡単な演習問題。…

三角関数の公式を復習する (11) : 三角関数の微分

今回から数学IIIに突入。 今回は三角関数の微分(目次)。 この記事では微分の定義に立ち返らず、指数関数を使って微分公式を導いていきます。 三角関数はオイラーの公式によって以下のように指数関数と関連づけられているのでした: この表式を用いて三角関…

三角関数の公式を復習する (10) : 正接の加法定理

今回は、以前導いた正接 () の加法定理とは別の表式を導いてみます(目次)。 あんまり高校ではやりませんかね。 分母分子に を掛けて積和の公式を使ってます。 またこの式で の置き換えをして、負の引数の公式を用いると となります。 特殊函数 (岩波 数学…

三角関数の公式を復習する (9) : 三角関数の和積の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の和積の公式。 和積の公式は前回の積和の公式とは逆に、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和で表す公式です。 公式の導き方は、単に積和の公式を逆に解くだけです。 積和の公式は4つありました…

三角関数の公式を復習する (8) : 三角関数の積和の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は積和の公式。 積和の公式とは、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和に変換する公式です。 これもやはり三角関数の加法定理から導きます。 三角関数の加法定理は以下のようになってました: 積和の公式は…

三角関数の公式を復習する (7) : 三角関数の合成

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の合成を見ていきます。 三角関数の合成は加法定理を今までと逆に使うというのがミソ。 使いどころを認識しておくのも大切です。 合成を実行する式は と の1次式です: 合成の大まかな手順は でく…

三角関数の公式を復習する (6) : 三倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三倍角の公式。 三倍角の公式の導出方法は倍角の公式の場合とだいたい同じです。 下線部を付けているのは、以前に導いた三角関数の相互関係、倍角の公式を使用している箇所です。正弦 余弦 正接 まとめる…

三角関数の公式を復習する (5) : 半角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の半角の公式を導きます。 三角関数で半角の公式を導くには、余弦の倍角の公式を使います。 まずは正弦の半角の公式を導きましょう。 余弦の倍角の公式で を使った表式 を について解いて の置き…

三角関数の公式を復習する (4) : 倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は倍角の公式。 倍角の公式の導出は、前回導いた加法定理で とすればいいだけです: まとめると オイラーの公式がわかる (ブルーバックス)作者: 原岡喜重出版社/メーカー: 講談社発売日: 2013/06/21メディア…

三角関数の公式を復習する (3) : 三角関数の加法定理

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は大事な大事な三角関数の加法定理を導きます。 複素数の性質を使えば の表式を同時に導けますが、そのうちやるつもりの双曲線関数に対してはこの方法を使えません。 したがって、少々助長な感じがしますが…

三角関数の公式を復習する (2) : 負の引数、純虚数の引数

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数で引数が負や純虚数である場合を考えます。負の引数まずは負の引数の場合。 よって、 は奇関数、 は偶関数です。高校では出てこない三角関数たちもやっておきましょう。 上記の3つの結果を使えば…

三角関数の公式を復習する (1) : 三角関数の定義と相互関係

今回から何回かに渡って、高校数学で出てくる三角関数の公式をオイラーの公式を使って定義・導出していきます。 三角関数の定義と相互関係 負の引数、純虚数の引数 三角関数の加法定理 倍角の公式 半角の公式 三倍角の公式 三角関数の合成 三角関数の積和の…

オイラーの公式を高校数学に役立てる ~積分編~

以前の記事でオイラーの公式 を使って三角関数の加法定理に関連する公式を導きました。 今回はこのオイラーの公式を用いて、三角関数と指数関数を含む積分を求める方法を見ていきます。 今回見ていく積分は以下の形のもの: 正弦を余弦に変えたものも同じ方…

ベルヌーイ数に関連する冪級数展開

前回見たベルヌーイ数ですが、 正接関数 をはじめいくつかの初等関数*1の冪級数展開(テイラー展開)の係数として登場します。 今回はそれらの冪級数展開を導きたいと思います(やはり[wikipeida:ベルヌーイ数]に載ってる公式の導出をやってるだけですが)。…

双曲線関数の冪級数展開

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 三角関数の場合と同じように、冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。 指数関数の冪級数展…

三角関数の冪級数展開

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は高校数学の範囲を超えていますが、三角関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 ここでは冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。指数関数の…

指数関数の冪級数から指数法則を導く

以前の記事で、オイラーの公式を使って三角関数の加法定理を導きましたが、その導出では指数関数の性質として指数法則の1つ を使っていました。 ただし、引数が複素数(純虚数)の場合にそれが成り立つのは自明ではありません。 この記事では実際にそれが成…

複素変数の双曲線関数

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 前回、複素変数の三角関数の表式を導きましたが、双曲線関数についても同様の表式を導いてみましょう。 つまり を実数、 を虚数単位として、 などを などで表してみます。双曲線関数の場合も、以前の記事で導…

複素変数の三角関数

この記事では、引数が複素数の場合の三角関数の表式を導きます(目次)。 もう少し具体的に言うと、 や などを や などを使って表そうということです。 ちなみに、この記事中では は実数とします(別に複素数でも式自体は成り立ちますが)。以前の記事「もし…

オイラーの公式と三角関数の加法定理

高校数学ではオイラーの公式 は学習しませんが、それを使って三角関数の加法定理などを導く方法はよく知られていると思います。 この記事でもベタに加法定理や倍角の公式を導いてみます。加法定理まずは一番よく知られていて、また他の公式の基本になる三角…