倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

幾何学

正六面体(立方体)の計量

今回は正六面体(立方体)の表面積や体積など。 5つの正多面体の中で一番簡単。 粛々といきましょう。 幾何学的対象の個数等 隣り合う2つの面のなす角 表面積・体積 内接球・辺に接する球・外接球の半径 一辺の長さを とし、以下のように頂点に名前を付けて…

正四面体の計量

目的は正十二面体、正二十面体の体積を求めることなんですが、ちょっと準備運動として正四面体、正六面体(立方体)、正八面体の体積等を求めていきす。 幾何学的対象の個数等 隣り合う2つの面のなす角 表面積 体積 内接球・辺に接する球・外接球の半径 一辺…

正多角形の内接円の半径

前回、一辺の長さが の正多角形の面積を求めました。 そのとき、ついでに重心と頂点との交点との距離 も求めましたが、これはこの正多角形の外接円の半径ともなってました。 今回は同じ正多角形の内接円の半径 を求めます*1。方法その1上図より、直角三角形 …

正多角形の面積

正多角形の面積を求めます。 高校数学の問題集に載ってるレベルの問題です。正 角形の1辺の長さを 、重心(正 角形の外心と一致する) O と頂点の距離を (これは外接円の半径でもある)とします: 図中の点 A, B は正 角形の隣り合う頂点、点 M は辺 AB の…

2次元で「平行移動 + 回転 = 回転」も示しておくよ

前回に「回転の後に平行移動を施すと、別の点の周りの回転になる」ことを示しました。 今回は先に平行移動して、その後に回転を施した場合にも、別の点の周りの回転になることを示します。 また、その回転の中心も求めます。「平行移動 + 回転 = 回転」の証…

2次元で「回転 + 平行移動 = 回転」は容易に分かる?

『統計物理学 下 第3版』の「第13章 結晶の対称性」を読んでいて「ん?」と思ったんだけど、3次元の結晶に関して ある角度だけの回転とそれに続く回転軸に垂直な方向への平行移動は、容易にわかるように、最初の軸に平行な他の軸のまわりの同じ角度だけの単…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ラグランジュの未定乗数法編~

前回、極値条件を解いて点と平面の距離の公式を導きましたが、拘束条件がある場合の極値問題はラグランジュ乗数法 (method of Lagrange multiplier) を用いるのが定石なので、今回はその方法で点と平面の距離の公式を導いてみます(目次)。問題設定まず、記…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ちょっと解析学使っちゃうよ編~

前回、ガリガリと計算して3次元での点と平面の距離の公式を導きましたが、まぁ、数学界でいうエレファントな解法って感じでした。 今回はちょっと高校数学の範囲をはみ出した解法をやってみます。 といっても、結構力ずくではありますが。問題設定 3次元空間…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ガリガリ計算編~

前回、 次元における点と 次元超平面との距離を与える公式を導きました。 そのついでとして3次元空間での点と平面との距離の公式を得ました。 今回は、その3次元での公式を、「点と直線の距離の公式を導く ~初等的解法~」で行ったのと同じような方法で導い…

点と直線の距離の公式を導く ~ベクトルを用いる方法~

今回は点と直線の距離を、ベクトルを用いた方法で導いてみます(目次)。 この方法は簡単に3次元(以上)に拡張できるので秀逸です。公式の確認点と直線の距離の公式はこんなのでした: 点 と直線 との距離 は で与えられる。 では導出を。導出点 から直線 …

点と直線の距離の公式を導く ~もしかしたら暗算で出せる方法~

前回、点と直線の距離を真面目に導出しましたが、忘れたときに導出するのがちょっと手間。 ということで、今回は同じ公式をもう少し手短に(簡単かどうかは人による)導出する方法を(目次)。 まぁ、点と直線の距離の公式を忘れたらこの導出方法も覚えてな…

点と直線の距離の公式を導く ~初等的方法~

高校数学で、導出に手間がかかるので覚えておかないとテストとかでどうしようもなくなる公式の筆頭候補が点と直線の距離の公式です。 まぁ、手間が少々かかるというだけで、導こうと思って導けない公式ではないので、実際に導いてみましょう。導き方にはいく…

三角形の合同条件を3つも覚えられない君に贈る

義務教育を受けているなら、中学校で三角形の合同条件を3つ学習していると思います。 その3つはこんなのでした: 3辺相等・・・3辺がそれぞれ等しい 2辺挟角相等・・・2辺とその間の角がそれぞれ等しい 1辺両端角相等・・・1辺とその両端の角がそれぞれ等し…