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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

数列

階乗冪の和の公式

以下のような積の和を一般に与える公式を導きます。 参考 『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』 概要後でもう少し一般化した場合を導出しますが、 の場合に算数っぽく導出しておきます。 まずは の場合。 角括弧内の第1項内の1つ目の項 と第2項内の2つ…

素数

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 ちょっと別用で素数 (prime number) を生成するコードを書いたので、こちらのブログで整理しておきます。 別用記事で見たように Int や Long に対してなら2行で書けま…

完全順列の一般項を導く

高校数学でもちらっと出てくる完全順列 (Derangement wikipedia:完全順列 ) の総数を導いてみます。 完全順列の定義は Wikipedia でも見てもらうことにして、イメージは「プレゼントを1人1個もちよってプレゼント交換したとき、全員が自分のプレゼントが当た…

漸化式の解法あれこれ : a_{n+1} = a_n + f(n)

初項と漸化式が で与えられる数列 の一般項を得る方法を見ていきましょう。 ただし は の何らかの関数です。解法数列 の階差数列を とします: このとき漸化式より となり、階差数列の一般項は分かりました。 ここで、以前導いた、階差数列から元の数列を求…

とある級数の双対性について -ちょっと細かい一般化-

前回の記事で、以下のような級数の双対性を導きました: この双対性をちょっこっと一般化してみます。 説明のため、この級数を と置きましょう: このとき、級数の双対性は と書けます。その1まずは を整数(ただし )として以下のような形の級数について、…

とある級数に対する双対性

前回見た、部分分数に分解して計算する級数の双対性をちょっと一般化してみましょう。 を任意の関数(正の自然数値で発散とかしない)、 を整数として、以下の関数を考えます: 前回見た級数は としたものから導くことができます(そのままではないけど、こ…

部分分数に分解して和を計算する級数について -双対性?-

以前の記事「あれ、部分分数に分解して計算する級数って、もうちょっとキチンと解かないといけなくない?」で、高校数学の問題としてよく出題される級数の計算についてちょっと疑問に思ったことを書いたのですが、今回はちょっと一般化した問題について同じ…

あれ、部分分数に分解して計算する級数って、もうちょっとキチンと解かないといけなくない?

高校数学の数列に出てくる以下のような級数(和)の計算を考えましょう: この級数を計算するには、各項が以下のように部分分数分解できることを使います: これを用いて Sn は以下のように計算するのでした: さて、この計算で和を書き下した2行目は複数の…

自然数の冪乗和の公式を導いてみるよ

この記事では以下のような冪乗和 を生成母関数 (generating function) の方法を用いて求めてみます。 Wikipedia よると、結果で得られる公式は『ファウルハーバーの公式 (Faulhaber's formula)』というそうです(「wikipedia:ファウルハーバーの公式」)。参…

漸化式の解法あれこれ : a_{n+1} = p a_n + q

今回は以下の形の初項、漸化式で定義される数列の一般項を求めます: は定数とします。 漸化式の問題の基本中の基本ですね。 の場合まずは の場合。 このときは特性方程式の解 を使って等比数列を構成し、一般項を求めます。特性方程式漸化式で をともに と…

トリボナッチ数列の一般項を導く

以前の記事でフィボナッチ数列の一般項を求めましたが、この記事では、フィボナッチ数列の眷属であるトリボナッチ数列 (tribonacci series)の一般項を求めてみます。トリボナッチ数列の定義トリボナッチ数列 は以下の初項と漸化式で定義されます: 例によっ…

ベルヌーイ数 Bernoulli Number

正接関数 tan x の展開係数として現れるベルヌーイ数。 正直今まであんまり真面目に扱ったことがなく敬遠してたんですが、ちょっとあれこれベルヌーイ数にまつわる公式を自分の手で計算して確かめてみました。 ほとんどwikipedia:ベルヌーイ数に書いてある公…

階差数列と級数

階差数列 sequence of differences 階差数列の定義数列の隣り合う2項の差を数列とみなしたものを階差数列といいます。 数列 の階差数列を とすると、 は を用いて と表されます。階差数列から元の数列を求める階差数列を初項から第 項まで加えると のとき、 …

数列 nr^{n-1} の和

一般項 が (ただし )で与えられる数列を考え、その n 項までの和を とします: 以下で、この和を計算します。方法その1 を、等比級数の公式を導いた方法で計算します。 よって したがって、 は以下のようになります: 方法その2次は微分を使ってガリガリ計…

等比級数の公式あれこれ

唐突ですが、以下の和をきちんと計算できるでしょうか? ただし、 r ≠ 1 (1), (3) ではさらに *1 (3), (4) ではさらに *2 とします。 それぞれどこが違うかわかりますよね? これらはどれも等比級数(等比数列の和)になっています。等比級数の公式一応復習…

高校数学でフィボナッチ数列の一般項を導く

フィボナッチ数列 フィボナッチ数列は次の F0, F1, 漸化式で定義されます: 高校では n = 1, 2, 3, ・・・ ですが、ここでは n = 0, 1, 2, 3, ・・・ とします。特性方程式とその解 漸化式より よって特性方程式は で与えられます。 この方程式の2つの解を …