読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ニュートンの運動方程式の極座標表示 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はニュートンの運動方程式の極座標表示を導いてみます。 ラグランジアン形式や正準形式の方がラクだったかと思いますが、ついでにやろうと思ったら意外と記事が長くなったのでこれら…

球対称な質量分布が作る重力ポテンシャル

ちょっと所用で重力ポテンシャルを計算する必要ができたので、学部の演習問題でやった積分の計算を久し振りにやり直してみました。 どちらかというと電磁気学で静電ポテンシャルの計算としてやった記憶の方が強いですが、まぁ全く同じ計算でした。質点と質量…

単位球体内・球面上の一様分布のモーメント

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)。 前回までで一般次元の単位球面上・球体内の一様分布を生成する方法を見ました。 ただし、この一様分布がきちんと生成されているかをテストするのはナカナカ大変。 これを行うには、各分布に…

n次元単位球面上・単位球体内の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)& 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 前回列挙した、一般次元での単位球体内・球面上の一様分布を任意の次元に拡張してみます。球面上の一様分布は帰納的な定義(2次元低い一様分布を使…

単位球体内と単位球面上の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次) & 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、今まで出てきた公式をまとめておきます。 ついでに単位球面上の一様分布 (uniform distribution on the unit sphere) も見ていきます。 こ…

単位球体内の一様分布 : 4次元

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)& 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は4次元。 3次元までの単位球体内(通常の円盤内、球体内)の一様分布はその生成方法はよく知られていますが、4次元以上では通常使われる極座標…

単位球体内の一様分布 : 3次元

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)。 今回は3次元。 やることは2次元の場合と同じ。 ちなみに3次元の単位球体は普通の「球」です。極座標3次元の極座標は以下のように与えられるのでした: 単位球内での積分は以下のようになり…

単位球体内の一様分布 : 2次元

今回から何度かに渡り、いくつかの次元における単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていきます。 単位球面上の一様分布を得るには、半径 r を1にするだけで OK です。 今回は2次元。 2次元の単位球体は単に「円」(内部を含む)です。目次 2次元 3次元 4…

奇数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 前回に引き続き、今回は奇数次元の倭式極座標。シミュレーションなどではなく解析的に用いる場合には、右手系か左手系かを注意しないといけませんが*1、以下の話では無視しています。 3次元の場合は大丈夫なようです…

偶数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 以前の記事『極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n次元』で n 次元極座標というものを導入しましたが、4次元以上の高次空間になると極座標の導入の仕方にもある程度任意性が出てきます*1(この世界が3次元空間である…

4次元倭式極座標で求める4次元球の体積

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、前回導入した4次元倭式極座標を用いて、4次元球の体積を計算してみましょう。4次元極座標の体積要素前回の結果より なので、4次元倭式極座標での体積要素は以下のようになります: 4次元球とその体積半径 の…

4次元倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 以前の記事で何度か 次元の極座標というのを扱いましたが、実は4次元以上ではこれとは別の極座標を定義することができます。 2次元、3次元では や の入れ替えを除いては本質的に1つの極座標しかとれないので、この「…

極座標のヤコビアン〜計量テンソル編〜 : n次元

前回までで、計量テンソルを用いてラプラシアン (Laplacian) の極座標表示を計算しましたが、極座標のヤコビアン (Jacobian) も計量テンソルを用いて計算することができます。計算できると言っても、実際には既に計算していて、実は がヤコビアンになります…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : n次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は、計量テンソルを使ってラプラシアンの極座標表示を求める方法をn次元に適用します。極座標n次元の極座標は以下のように定義されてました: 計量テンソル計量テンソルの計算方法は4次元の場合まで…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 4次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は計量テンソルを用いてラプラシアンの極座標表示を求める方法を、4次元に対して行ってみます。4次元極座標4次元極座標は次のように定められてるのでした: 計量を計算するために、位置ベクトル を…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 3次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は計量テンソルを使って3次元のラプラシアンの極座標表示を求めてみます。3次元の極座標は以下のように定められていました: また、後のために位置ベクトル と変位ベクトル を以下のように決めます…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 2次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回からは計量テンソルを用いてラプラシアンの極座標表示を計算してみます。 今回は2次元。計量テンソル (metric tensor) が分かっているとき、ラプラシアンは ただし によって計算できます(wikipedia…

ラプラシアンの極座標表示 : n次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は n 次元でのラプラシアンの極座標表示を求めます。 次元のラプラシアンを とし、また 次元の極座標を以下のように定めます: ただし定義域の については とします。 のとき、ラプラシアン の極座…

ラプラシアンの極座標表示 : 4次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 前々回、前回で行った方法を使って、4次元のラプラシアンの極座標表示を求めてみます。4次元極座標4次元の極座標は以下のようにとるのでした(こちら参照): 極座標の基底4次元での極座標の正規直交基…

ラプラシアンの極座標表示 : 3次元 再考

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 前回行った方法を3次元に適用してみます。極座標の基底3次元での極座標の正規直交基底はこうとります: これらの基底の(極座標での)微分を計算すると以下のようになります: 微分演算子以前導いた結果…

ラプラシアンの極座標表示 : 2次元 再考

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 3次元のラプラシアンの極座標表示を求めようと地道に計算してみましたが ▷ ちょっと上の次元に計算を移す気がしないので、もう少し簡単に計算できる方法を再考。 リーマン幾何の計量を使った公式を使う…

ラプラシアンの極座標表示 : 3次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元のラプラシアンの極座標表示。 ラプラシアンは ですね。 3次元の極座標は次のように定義されてました(こちらを参照): また、極座標を直交座標を用いて表すと以下のようになります: 記事…

ラプラシアンの極座標表示 : 2次元

これから何回かにわたって、ラプラシアン (Laplacian) の極座標表示を地道に泥臭く計算していきます。 2次元 3次元 2次元 再考 3次元 再考 4次元 n 次元 計量テンソル編 2次元 計量テンソル編 3次元 計量テンソル編 4次元 計量テンソル編 n次元 今回は2次元…

大学数学で求める球の体積:n次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は「大学数学で求める球の体積」のまとめ的な 次元球の体積。次元球の体積 次元球 の体積を求めます。 次元極座標のヤコビアンは「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n 次元」で求めたので、それを…

大学数学で求める球の体積:4次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は4次元球の体積。4次元球の体積4次元球 の体積を求めます: 「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 4次元」より、4次元極座標の体積要素は となるので ここで ただし「とある三角関数の積分公式」で…

大学数学で求める球の体積:3次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元球の体積。結果は「球の体積の公式」になります。3次元球の体積3次元球 の体積を求めます。 「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 3次元」より、3次元極座標の体積要素は となるので(積分範…

大学数学で求める球の体積:2次元

今回から何回かにわたって、前回までで求めた極座標のヤコビアンを用いて球の体積を計算していきます。目次 2次元 3次元 4次元 n 次元 n次元球の体積をガンマ関数で表す n次元球面の面積 n次元球面の面積とn次元球体の体積をガンマ関数で表す〜エレガント編…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は 次元。 証明はともかく、結果(体積要素)は後で使うので把握しておいてネ。 次元極座標 次元の極座標は次のように定義されます: ただし 。 次元極座標の体積要素次元極…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 4次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は4次元。4次元極座標4次元の極座標は次のように定義されています: 4次元極座標の体積要素ヤコビアンを前回までの方法で計算するのは結構大変なので、(本質的には同じだけ…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 3次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元の極座標。 計算の流れは前回と同じです。3次元極座標3次元の極座標は次のように定義されています: 3次元極座標の体積要素ヤコビ行列 ヤコビアンヤコビアンの計算は…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 2次元

前回までは、(なるべく)高校数学のみを使って球の体積を求めました。 大学以降ではこのような方法ではなく、一端「極座標」(2次元の場合は高校数学の数学 C でやります)に変数変換した後、積分を実行します。 この方法では変数変換の部分(体積がどのよ…