倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

特殊関数

spire で多項式 Polynomial を使ってみる (5) : 多項式で表される特殊関数

spire を使ってみるシリーズ(目次)。 今回は多項式で表される特殊関数に関連する spire.math.poly.SpecialPolynomials クラスのメソッドを見ていきます。SpecialPolynomials クラスでは ルジャンドルの多項式: legendre() ラゲールの多項式: laguerre() …

ベッセル関数の漸近展開

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回はベッセル関数や変形ベッセル関数の での漸近的な振る舞いを見ていきます。 ベッセル関数の漸近展開にはいくつか種類があるようですが、今回見ていくのはハンケルの漸近展開というものです(たぶん一番…

続・変形ベッセル関数の公式あれこれ

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前回、変形ベッセル関数の公式をいくつか導きましたが(追記あり)、今回は、そこで出てきたパラメータ が半奇数の場合の公式をもう少し深く掘り下げていきます。前回導いた公式変形ベッセル関数は、パラメ…

変形ベッセル関数の公式あれこれ

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回はベッセル関数の眷属である変形ベッセル関数。 定義と微分公式、パラメータ が半奇数の場合の式を見ていきます。これらの公式は基本的に『ベッセル関数の公式』で導いたものから容易に導くことができま…

ベッセルの微分方程式のロンスキアンとノイマン関数

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回はベッセルの微分方程式 のロンスキアン(『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~』参照)をベッセル関数の満たす公式から導きます。 ロンスキアンを微分方程式から…

特殊関数の公式を証明する記事の目次

特殊関数の公式を証明していく記事が増えていきそうなので目次記事を作っておきます。 一般論 『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~』 ガンマ関数・ベータ関数 『とあるガンマ関数の公式目録』 『ガンマ関数とベータ関…

ベッセル関数(円柱関数)の公式あれこれ

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 以前の記事でベッセル関数や円柱関数の定義をみましたが、今回は後で使う(かも知れない)公式をいくつか導いていきます。 大半は微分の公式です。【この記事の内容】 定義 準備 1階微分 高階微分 シュレー…

特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 微分方程式論、特殊関数についてのこちらのサイトの「Lectures」下にある PDF のノートが簡潔で非常に分かりやすかったので、後で使いそうな事項を見繕って、計算を追いつつまとめてみました。 と言いつつ、…

ベッセルの微分方程式の解としてのノイマン関数

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前回ベッセルの微分方程式の級数解としてベッセル関数を導きましたが、パラメータ が整数の場合はベッセル関数以外の解が存在します。 通常用いられるのはノイマン関数という関数で、前回は定義だけを見まし…

ベッセルの微分方程式とその級数解

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 中心力ポテンシャル系のシュレディンガー方程式を解く際に、動径方向の方程式として出てくるベッセルの微分方程式の級数解をガリガリ求めていきます。 解はベッセル関数と呼ばれる関数になります。 ベッセル…

三角関数の n 倍角の公式を導く ~余弦編~

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 前回はド・モアブルの公式を使って三角関数の 倍角の公式を導きましたが、そこで導いた公式では が混在した式になっていました。 今回は別の方法で もしくは にもう少し統一された公式を導きます。 できうる限り …

エルミートの微分方程式とその級数解

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 『シュレディンガー方程式を解こう ~調和振動子~』に関する補足記事でもあります。 この記事ではなるべく生成・消滅演算子の前提知識なしにシュレディンガー方程式の解を求めてみます。適当に変数を書き換…

シュレディンガー方程式を解こう ~調和振動子~

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ(目次)。 今回は調和振動子。調和振動子のシュレディンガー方程式は生成・消滅演算子による定式化の知識を使わずに解くこともできますが、固有関数の規格化や直交性を示そうと思うと結局この定式化と同じようなこと…

単位球体内・球面上の一様分布のモーメント

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)。 前回までで一般次元の単位球面上・球体内の一様分布を生成する方法を見ました。 ただし、この一様分布がきちんと生成されているかをテストするのはナカナカ大変。 これを行うには、各分布に…

続・一般化された超幾何関数はどのくらい一般化されているのか? ~p=1~

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前回に引き続き、いろいろな関数を一般化された超幾何関数で表してみましょう。 今回は の場合。 一般化された超幾何関数の定義は以下のようでした: また、以下のような等式も前回導きました。 これに加え…

一般化された超幾何関数はどのくらい一般化されているのか?

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前回、一般化された超幾何関数という関数の定義を見ました: 今回は、いろいろな関数がこの一般化された超幾何関数を使って表すことができることを見ていきましょう。ポッホハマー記号の値あれこれまず、後…

一般化された超幾何関数 いくら一般化されても特殊関数扱いなのだがw

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前々回、前回に合流型超幾何関数と超幾何関数を見ましたが、その勢いで一般化された超幾何関数 (generalized hypergeometric function) もいってみましょう。参考 wikipedia:超幾何級数 Wolfram Math World …

実録! 超幾何微分方程式の級数解を求めてみる。 もちろんそれは超幾何関数になる。

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前回の記事『合流型超幾何微分方程式の級数解を求めてみる。 もちろんそれは合流型超幾何関数になる。』で、合流型超幾何微分方程式の級数解を構築していくと合流型超幾何関数が得られることを示しました。 …

合流型超幾何微分方程式の級数解を求めてみる。 もちろんそれは合流型超幾何関数になる。

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回は、以下の合流型超幾何微分方程式 (confluent hypergeometric differential equation) (ただし は定数)に関して、級数解を求めてみましょう。 まぁ、それは合流型超幾何関数になるんですが。参考 「w…

ζ(2) の値

この記事では次式が成り立つことを示します: 前提とする関係式 の導関数 の冪級数展開 の範囲において の値 を と定義するとき*1 が成り立つ。導出の流れ を と定義します。 で、 の導出の流れは以下の通り: [tex:{ I = t } となることを示す。 の積分を実…

ガンマ関数とベータ関数のよくある関係

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回は、ガンマ関数とベータ関数を関係づける以下の式を証明します: ただし、 は積分変数を に変換すればすぐに示せるので、証明は省略。【この記事の内容】 ガンマ関数とベータ関数の定義 証明 ガンマ関数…

commons-math 解読 (19) : ベータ関数 Beta

今回はベータ関数を表す Beta クラスを見ていきます。Beta クラスBeta クラスの定義は以下のようになっています。 どれも関数値を計算する static メソッドです: package org.apache.commons.math.special; public class Beta{ public static double logBet…

commons-math 解読 (18) : ガンマ関数 Gamma

前回に引き続き、今回も org.apache.commons.math.special パッケージのクラスを見ていきます。 今回はガンマ関数を表す Gamma クラス です。Gamma クラスGamma クラスには、以下のような static フィールド、static メソッドが定義されています: package o…

commons-math 解読 (17) : 誤差関数 Erf

今回から何回かにわたって org.apache.commons.math.special に定義されているクラスを見ていきます。 このパッケージにはいくつかの特殊関数 (special functions) が定義されています。 具体的には 誤差関数 (error function) 関連 ガンマ関数 (gamma funct…

n次元球面の面積とn次元球体の体積をガンマ関数で表す〜エレガント編〜

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 以前の記事で、かなり力ずくですが「次元球体の体積」や「 次元球面の面積」の表式を導きました。 ただ、実際にはもっと普通にやられる、エレガントな導出方法があるので、今回はそれをやってみます。 …

n次元球の体積をガンマ関数で表す

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は以前に導いたn次元球の体積の公式を、ガンマ関数を使って書いてみます。 以前までに導いた結果で今回使うのは下記の通り: 球の体積 をガンマ関数で表す手順はこんな感じになります: をガンマ関…

とあるガンマ関数の公式目録

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 ガンマ関数の定義ガンマ関数は以下のように定義される: 公式公式1: 収束の評価などは行ってませんがご了承を。 証明は部分積分するだけ。 公式2: これは単なる指数関数の積分 公式3: 定義より ここで変数変…