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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

特殊関数

ベッセルの微分方程式の解としてのノイマン関数

前回ベッセルの微分方程式の級数解としてベッセル関数を導きましたが、パラメータ が整数の場合はベッセル関数以外の解が存在します。 通常用いられるのはノイマン関数という関数で、前回は定義だけを見ましたが少々天下り的な話でした。 今回はベッセルの微…

ベッセルの微分方程式とその級数解

中心力ポテンシャル系のシュレディンガー方程式を解く際に、動径方向の方程式として出てくるベッセルの微分方程式の級数解をガリガリ求めていきます。 解はベッセル関数と呼ばれる関数になります。 ベッセル関数以外にもノイマン関数と呼ばれる関数も解にな…

エルミートの微分方程式とその級数解

『シュレディンガー方程式を解こう ~調和振動子~』に関する補足記事です。 この記事ではなるべく生成・消滅演算子の前提知識なしにシュレディンガー方程式の解を求めてみます。適当に変数を書き換えた調和振動子のシュレディンガー方程式は でした。【この…

シュレディンガー方程式を解こう ~調和振動子~

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ(目次)。 今回は調和振動子。調和振動子のシュレディンガー方程式は生成・消滅演算子による定式化の知識を使わずに解くこともできますが、固有関数の規格化や直交性を示そうと思うと結局この定式化と同じようなこと…

単位球体内・球面上の一様分布のモーメント

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)。 前回までで一般次元の単位球面上・球体内の一様分布を生成する方法を見ました。 ただし、この一様分布がきちんと生成されているかをテストするのはナカナカ大変。 これを行うには、各分布に…

続・一般化された超幾何関数はどのくらい一般化されているのか? ~p=1~

前回に引き続き、いろいろな関数を一般化された超幾何関数で表してみましょう。 今回は の場合。 一般化された超幾何関数の定義は以下のようでした: また、以下のような等式も前回導きました。 これに加えて、後で使う似たような公式をいくつか: の場合の…

一般化された超幾何関数はどのくらい一般化されているのか?

前回、一般化された超幾何関数という関数の定義を見ました: 今回は、いろいろな関数がこの一般化された超幾何関数を使って表すことができることを見ていきましょう。ポッホハマー記号の値あれこれまず、後で使うポッホハマー記号と階乗などの関係式を導いて…

一般化された超幾何関数 いくら一般化されても特殊関数扱いなのだがw

前々回、前回に合流型超幾何関数と超幾何関数を見ましたが、その勢いで一般化された超幾何関数 (generalized hypergeometric function) もいってみましょう。参考 wikipedia:超幾何級数 Wolfram Math World 「Generalized Hypergeometric Function」 Wolfram…

実録! 超幾何微分方程式の級数解を求めてみる。 もちろんそれは超幾何関数になる。

前回の記事「合流型超幾何微分方程式の級数解を求めてみる。 もちろんそれは合流型超幾何関数になる。」で、合流型超幾何微分方程式の級数解を構築していくと合流型超幾何関数が得られることを示しました。 今回はそれを超幾何微分方程式について行います。 …

合流型超幾何微分方程式の級数解を求めてみる。 もちろんそれは合流型超幾何関数になる。

以下の に関する微分方程式、合流型超幾何微分方程式 (confluent hypergeometric differential equation) (ただし は定数)に関して、級数解を求めてみましょう。 まぁ、それは合流型超幾何関数になるんですが。参考 「wikipedia:超幾何級数」 Wikipedia 「…

ζ(2) の値

この記事では次式が成り立つことを示します: 前提とする関係式 の導関数 の冪級数展開 の範囲において の値 を と定義するとき*1 が成り立つ。導出の流れ を と定義します。 で、 の導出の流れは以下の通り: [tex:{ I = t } となることを示す。 の積分を実…

ガンマ関数とベータ関数のよくある関係

ガンマ関数とベータ関数を結びつける関係式を証明します。ガンマ関数とベータ関数の定義式 ガンマ関数とベータ関数の関係式 は積分変数を に変換すればすぐに示せるので、証明は省略。証明証明には上記のガンマ関数、ベータ関数の定義ではなく別の表現を使う…

commons-math 解読 (19) : ベータ関数 Beta

今回はベータ関数を表す Beta クラスを見ていきます。Beta クラスBeta クラスの定義は以下のようになっています。 どれも関数値を計算する static メソッドです: package org.apache.commons.math.special; public class Beta{ public static double logBet…

commons-math 解読 (18) : ガンマ関数 Gamma

前回に引き続き、今回も org.apache.commons.math.special パッケージのクラスを見ていきます。 今回はガンマ関数を表す Gamma クラス です。Gamma クラスGamma クラスには、以下のような static フィールド、static メソッドが定義されています: package o…

commons-math 解読 (17) : 誤差関数 Erf

今回から何回かにわたって org.apache.commons.math.special に定義されているクラスを見ていきます。 このパッケージにはいくつかの特殊関数 (special functions) が定義されています。 具体的には 誤差関数 (error function) 関連 ガンマ関数 (gamma funct…

n次元球面の面積とn次元球体の体積をガンマ関数で表す〜エレガント編〜

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 以前の記事で、かなり力ずくですが「次元球体の体積」や「 次元球面の面積」の表式を導きました。 ただ、実際にはもっと普通にやられる、エレガントな導出方法があるので、今回はそれをやってみます。 …

n次元球の体積をガンマ関数で表す

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は以前に導いたn次元球の体積の公式を、ガンマ関数を使って書いてみます。 以前までに導いた結果で今回使うのは下記の通り: 球の体積 をガンマ関数で表す手順はこんな感じになります: をガンマ関…

とあるガンマ関数の公式目録

定義Γ関数は以下のように定義される: 性質ガンマ関数は以下を満たす: 証明収束の評価などは行ってませんがご了承を。 証明は部分積分するだけ。 これは単なる指数関数の積分 定義より ここで変数変換 を施すと 積分測度 積分区間 よって 途中、Gauss 積分…