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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

不定積分と偶関数・奇関数

高校数学では、定積分については偶関数・奇関数に対する便利な公式がありますね。 をそれぞれ偶関数、奇関数とする、つまり以下が成り立つとします: このとき、 を中点とする区間での定積分に対して次の公式が成り立ちます( は正の定数): 不定積分さて、…

ベクトル解析の公式あれこれ ~微分編~

前回のベクトルの公式に続いて、今回はベクトル解析(ベクトルを微分・積分する)の公式をいくつか紹介 & 証明。 今回扱うのは微分のみ。参考 『理論電磁気学』 『解析入門 (2) 基礎数学 3』 準備 をスカラー場とし、 をベクトル場とする。 その他の記法や公…

下降階乗冪ってのがあったので上昇階乗冪ってのも試してミルカ

以前の記事で以下のような下降階乗冪というのを扱いました: で、「下降」階乗冪ってのがあるなら「上昇階乗冪」というのもあって良さそうなので、同じように定義してみましょう。 定義は以下のようにするのが自然でしょう: この上昇階乗冪は、超幾何関数 (…

和分の公式でも導いてミルカ

前回は、微分の離散版である差分に関する公式をいくつか導きました。 今回は積分の離散版である和分についての公式をいくつか導いていましょう。 前回と同じく『数学ガール (数学ガールシリーズ 1)』に載ってる公式です。和分の定義まずは和分の定義。 差分…

差分の公式でも導いてミルカ

前からずっと気になっていたんだけど、『数学ガール (数学ガールシリーズ 1)』(一番最初の巻)の第6章に載っている、微分・積分の公式に対応する差分・和分の公式って結構スゴイ、そしてキレイ。 んで、ふと自分の手で実際に証明してみることに(というか証…

オイラーの公式を高校数学に役立てる -積分編-

以前の記事でオイラーの公式 を使って三角関数の加法定理に関連する公式を導きました。 今回はこのオイラーの公式を用いて、三角関数と指数関数を含む積分を求める方法を見ていきます。 今回見ていく積分は以下の形のもの: 正弦を余弦に変えたものも同じ方…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ちょっと解析学使っちゃうよ編~

前回、ガリガリと計算して3次元での点と平面の距離の公式を導きましたが、まぁ、数学界でいうエレファントな解法って感じでした。 今回はちょっと高校数学の範囲をはみ出した解法をやってみます。 といっても、結構力ずくではありますが。問題設定 3次元空間…