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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

単位球体内・球面上の一様分布のモーメント

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)。 前回までで一般次元の単位球面上・球体内の一様分布を生成する方法を見ました。 ただし、この一様分布がきちんと生成されているかをテストするのはナカナカ大変。 これを行うには、各分布に…

n次元単位球面上・単位球体内の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)& 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 前回列挙した、一般次元での単位球体内・球面上の一様分布を任意の次元に拡張してみます。球面上の一様分布は帰納的な定義(2次元低い一様分布を使…

単位球体内と単位球面上の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次) & 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、今まで出てきた公式をまとめておきます。 ついでに単位球面上の一様分布 (uniform distribution on the unit sphere) も見ていきます。 こ…

単位球体内の一様分布 : 4次元

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)& 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は4次元。 3次元までの単位球体内(通常の円盤内、球体内)の一様分布はその生成方法はよく知られていますが、4次元以上では通常使われる極座標…

奇数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 前回に引き続き、今回は奇数次元の倭式極座標。シミュレーションなどではなく解析的に用いる場合には、右手系か左手系かを注意しないといけませんが*1、以下の話では無視しています。 3次元の場合は大丈夫なようです…

偶数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 以前の記事『極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n次元』で n 次元極座標というものを導入しましたが、4次元以上の高次空間になると極座標の導入の仕方にもある程度任意性が出てきます*1(この世界が3次元空間である…

点と直線の距離の公式を導く ~ベクトルを用いる方法~

今回は点と直線の距離を、ベクトルを用いた方法で導いてみます(目次)。 この方法は簡単に3次元(以上)に拡張できるので秀逸です。公式の確認点と直線の距離の公式はこんなのでした: 点 と直線 との距離 は で与えられる。 では導出を。導出点 から直線 …

4次元倭式極座標で求める4次元球の体積

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、前回導入した4次元倭式極座標を用いて、4次元球の体積を計算してみましょう。4次元極座標の体積要素前回の結果より なので、4次元倭式極座標での体積要素は以下のようになります: 4次元球とその体積半径 の…

4次元倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 以前の記事で何度か 次元の極座標というのを扱いましたが、実は4次元以上ではこれとは別の極座標を定義することができます。 2次元、3次元では や の入れ替えを除いては本質的に1つの極座標しかとれないので、この「…

極座標のヤコビアン〜計量テンソル編〜 : n次元

前回までで、計量テンソルを用いてラプラシアン (Laplacian) の極座標表示を計算しましたが、極座標のヤコビアン (Jacobian) も計量テンソルを用いて計算することができます。計算できると言っても、実際には既に計算していて、実は がヤコビアンになります…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : n次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は、計量テンソルを使ってラプラシアンの極座標表示を求める方法をn次元に適用します。極座標n次元の極座標は以下のように定義されてました: 計量テンソル計量テンソルの計算方法は4次元の場合まで…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 4次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は計量テンソルを用いてラプラシアンの極座標表示を求める方法を、4次元に対して行ってみます。4次元極座標4次元極座標は次のように定められてるのでした: 計量を計算するために、位置ベクトル を…

ラプラシアンの極座標表示 : n次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は n 次元でのラプラシアンの極座標表示を求めます。 次元のラプラシアンを とし、また 次元の極座標を以下のように定めます: ただし定義域の については とします。 のとき、ラプラシアン の極座…

ラプラシアンの極座標表示 : 4次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 前々回、前回で行った方法を使って、4次元のラプラシアンの極座標表示を求めてみます。4次元極座標4次元の極座標は以下のようにとるのでした(こちら参照): 極座標の基底4次元での極座標の正規直交基…

n次元球面の面積とn次元球体の体積をガンマ関数で表す〜エレガント編〜

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 以前の記事で、かなり力ずくですが「次元球体の体積」や「 次元球面の面積」の表式を導きました。 ただ、実際にはもっと普通にやられる、エレガントな導出方法があるので、今回はそれをやってみます。 …

n次元球面の面積

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は n 次元球面の面積の表式を導きます。 半径 の n 次元球面を とし、その面積を とします。 は (n+1) 次元球の体積 を半径 で微分すれば得られます: n次元球面の面積以前導いた の表式を代入する…

n次元球の体積をガンマ関数で表す

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は以前に導いたn次元球の体積の公式を、ガンマ関数を使って書いてみます。 以前までに導いた結果で今回使うのは下記の通り: 球の体積 をガンマ関数で表す手順はこんな感じになります: をガンマ関…

大学数学で求める球の体積:n次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は「大学数学で求める球の体積」のまとめ的な 次元球の体積。次元球の体積 次元球 の体積を求めます。 次元極座標のヤコビアンは「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n 次元」で求めたので、それを…

大学数学で求める球の体積:4次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は4次元球の体積。4次元球の体積4次元球 の体積を求めます: 「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 4次元」より、4次元極座標の体積要素は となるので ここで ただし「とある三角関数の積分公式」で…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は 次元。 証明はともかく、結果(体積要素)は後で使うので把握しておいてネ。 次元極座標 次元の極座標は次のように定義されます: ただし 。 次元極座標の体積要素次元極…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 4次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は4次元。4次元極座標4次元の極座標は次のように定義されています: 4次元極座標の体積要素ヤコビアンを前回までの方法で計算するのは結構大変なので、(本質的には同じだけ…

高校数学で求める球の体積 :n次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回はn次元球 の体積 を求めます。 の定義と の値n次元球の体積 は に比例するので、その比例定数を とおきましょう*1: が n の式として求まれば、 が求まります。 「高校数学で求める球…

高校数学で求める球の体積 :4次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は半径 の4次元球 の体積 を求めます。 このあたりからが、普段あまり使わない体積になります。 でも計算の仕方は3次元までと同じ。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の「3次元平面」で…