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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

シュレディンガー方程式を解こう ~調和振動子~

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ(目次)。 今回は調和振動子。調和振動子のシュレディンガー方程式は生成・消滅演算子による定式化の知識を使わずに解くこともできますが、固有関数の規格化や直交性を示そうと思うと結局この定式化と同じようなこと…

量子力学的調和振動子と生成・消滅演算子

座標演算子と運動量演算子の交換関係から始めて、生成・消滅演算子、個数演算子、個数演算子の固有状態などを簡単に見ていきます。 交換関係の計算には「角運動量演算子の交換関係」の記事で導いた交換関係の公式(反可換性、分配法則、ライプニッツ則)など…

シュレディンガー方程式を解こう ~井戸型ポテンシャルによる束縛状態~

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ(目次)。 今回は1次元で井戸型ポテンシャルによって束縛状態になっている系を解いてきます。時間に依存しないシュレディンガー方程式は でした(1次元で変数が1つなので、偏微分ではなく常微分にしています)。参考…

減衰力が働く場合の強制振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回見た Stokes の抵抗力が働いている減衰振動で、さらに周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。 この系のニュートンの運動方程式は となります。 ただし : 質量 : ばね定数 …

減衰振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は速度に比例する摩擦力が働く調和振動子を考えます。 流体中などでStokes の抵抗力が働いている場合などがこれにあたります。 この系のニュートンの運動方程式は となります。 ただ…

調和振動子の強制振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。 この系のニュートンの運動方程式は となります。 外力は複素数になってますが、運動方程式が線形微分方程式なので必要なら後で実…

速度の2乗に比例する空気抵抗を受ける落下

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回に続いて、今回は空気による抵抗力が速度の2乗に比例する場合に運動方程式を解いてみます。 この空気抵抗は ニュートンの抵抗力と呼ばれます。今回も鉛直下向きを座標の正の向きにと…

速度に比例する空気抵抗を受ける落下

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は速度に比例する空気抵抗の場合に運動方程式を解いてみます。 直感的に、空気による抵抗力は速度の(単調増加)関数として書き表されるはずですが、通常は統計力学的なモデルから導…

一定の力が働いているときの運動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は一定の力が働いている質点の運動方程式を解きます。 これは等加速度運動で、高校物理でも出てきますね。 一定の力が働いているときのニュートンの運動方程式は となります。 ただし…

力が働いてないときの運動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は力が働いていない場合の質点の運動方程式を解いてみます。 慣性の法則からすると、これは静止したままか等速直線運動をするはずですね。 力が働いてないときのニュートンの運動方程…

1次元の調和振動子

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は1次元の調和振動子 (harmonic oscillator) の系を解いていきます。 1次元の調和振動子は を正の定数(ばね定数)として で与えられる復元力によって運動します。 このときニュート…

高校数学で求める球の体積 :1次元

(なるべく)高校数学のみを使って、いろいろな次元の球の体積を求めてみます。目次 1次元 2次元 3次元 4次元 n次元 1次元の球の体積(円周の長さ)今回は1次元の場合。半径 の1次元球 の体積 を求める。 は「球」と書いてますが、これは単なる長さ の「線分…