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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

シュレディンガー方程式を解こう ~井戸型ポテンシャルによる束縛状態~

シュレディンガー方程式を解こうシリーズ(目次)。 今回は1次元で井戸型ポテンシャルによって束縛状態になっている系を解いてきます。時間に依存しないシュレディンガー方程式は でした(1次元で変数が1つなので、偏微分ではなく常微分にしています)。参考…

2次元の Laplace - Runge - Lenz ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、ケプラー問題でエネルギーや角運動量以外に保存される Laplace - Runge - Lenz ベクトル(以下、ラプラス・ベクトル)の2次元版を見ていきます。『ケプラー問題のある保存ベクト…

ケプラー問題のある保存ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 ケプラー問題ではエネルギーと角運動量以外に保存されるベクトルが存在することが知られています。 今回は簡単にこのベクトルについて見ていきましょう。 このベクトルを使うと比較的簡単…

2次元のケプラー問題(斥力の場合)

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 数回の記事で、万有引力を念頭に、逆2乗法則の引力の場合に2次元のケプラー問題の運動や軌跡を解きました。 今回は斥力の場合に運動や軌跡がどうなるかを見ていきます。 万有引力には斥力…

2次元のケプラー問題 ~双曲線軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はケプラー問題で の場合の運動を求めます。 このときの質点の軌跡は双曲線となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 との関係は以下で与えられるのでし…

2次元のケプラー問題 ~楕円軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は『2次元のケプラー問題』記事の続きで、 の場合を行います。 このとき、離心率 は となり、楕円軌道となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 は で関…

2次元のケプラー問題 ~放物線軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はケプラー問題で の場合の質点の運動を求めます。 この場合の軌道は放物線になります。放物線軌道の方程式『2次元のケプラー問題の軌跡』より、放物線軌道の方程式は で与えられます…

2次元のケプラー問題

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は以前に見た中心力ポテンシャルの問題を解く方法で、力が逆2乗法則に従うケプラー問題を解いてみます。運動方程式を解く手順として、まず座標等を時間の関数として求め、その後時間…

2次元のケプラー問題の軌跡

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は『中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ~2次元~』の方法を使って、ケプラー問題の軌跡を求めてみましょう。この記事の内容 この記事の内容 参考 ケプラー問題のポテンシャル 積分…

2次元調和振動子の軌跡

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、『中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ~2次元~』の内容を調和振動子に対して適用して、調和振動子の軌跡を求めて見ます。ポテンシャル調和振動子のポテンシャルは、ばね定数を…

中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、2次元において中心力ポテンシャル中で運動する質点の描く軌跡を求める方法を見ていきます。『中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~』で、中心力ポテンシャル中で…

2次元の調和振動子

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 以前の記事で1次元の調和振動子の運動方程式を解きましたが、今回は2次元の調和振動子を解きます。 直交座標と極座標でそれぞれ解いてみます。この記事の内容 この記事の内容 2次元調和振…

中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回、ラグランジアン形式と正準形式の運動方程式を極座標で表しましたが、今回は特にポテンシャル が中心力ポテンシャルの場合を考えます。この記事の内容 この記事の内容 ラグランジア…

運動方程式の極座標表示 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回はニュートン力学での2次元の運動方程式を極座標表示しましたが、今回はラグランジュ形式と正準形式(ハミルトン形式)での運動方程式を極座標で表します。ラグランジュ形式ポテンシ…

ニュートンの運動方程式の極座標表示 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はニュートンの運動方程式の極座標表示を導いてみます。 ラグランジアン形式や正準形式の方がラクだったかと思いますが、ついでにやろうと思ったら意外と記事が長くなったのでこれら…

減衰力が働く場合の強制振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回見た Stokes の抵抗力が働いている減衰振動で、さらに周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。 この系のニュートンの運動方程式は となります。 ただし : 質量 : ばね定数 …

減衰振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は速度に比例する摩擦力が働く調和振動子を考えます。 流体中などでStokes の抵抗力が働いている場合などがこれにあたります。 この系のニュートンの運動方程式は となります。 ただ…

調和振動子の強制振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。 この系のニュートンの運動方程式は となります。 外力は複素数になってますが、運動方程式が線形微分方程式なので必要なら後で実…

速度の2乗に比例する空気抵抗を受ける落下

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回に続いて、今回は空気による抵抗力が速度の2乗に比例する場合に運動方程式を解いてみます。 この空気抵抗は ニュートンの抵抗力と呼ばれます。今回も鉛直下向きを座標の正の向きにと…

速度に比例する空気抵抗を受ける落下

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は速度に比例する空気抵抗の場合に運動方程式を解いてみます。 直感的に、空気による抵抗力は速度の(単調増加)関数として書き表されるはずですが、通常は統計力学的なモデルから導…

一定の力が働いているときの運動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は一定の力が働いている質点の運動方程式を解きます。 これは等加速度運動で、高校物理でも出てきますね。 一定の力が働いているときのニュートンの運動方程式は となります。 ただし…

力が働いてないときの運動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は力が働いていない場合の質点の運動方程式を解いてみます。 慣性の法則からすると、これは静止したままか等速直線運動をするはずですね。 力が働いてないときのニュートンの運動方程…

1粒子系でのニュートンの運動方程式

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は1粒子系でのニュートン(Newton)の運動方程式とその性質を見ていきましょう。1粒子系(一体系)でのニュートンの運動方程式は で表されます。 ただし : 時間 : 質点の質量 : 質点の…

1次元の調和振動子

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は1次元の調和振動子 (harmonic oscillator) の系を解いていきます。 1次元の調和振動子は を正の定数(ばね定数)として で与えられる復元力によって運動します。 このときニュート…