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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ケプラー問題のある保存ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 ケプラー問題ではエネルギーと角運動量以外に保存されるベクトルが存在することが知られています。 今回は簡単にこのベクトルについて見ていきましょう。 このベクトルを使うと比較的簡単…

球対称な質量分布が作る重力ポテンシャル

ちょっと所用で重力ポテンシャルを計算する必要ができたので、学部の演習問題でやった積分の計算を久し振りにやり直してみました。 どちらかというと電磁気学で静電ポテンシャルの計算としてやった記憶の方が強いですが、まぁ全く同じ計算でした。質点と質量…

正六面体(立方体)の計量

今回は正六面体(立方体)の表面積や体積など。 5つの正多面体の中で一番簡単。 粛々といきましょう。 幾何学的対象の個数等 隣り合う2つの面のなす角 表面積・体積 内接球・辺に接する球・外接球の半径 一辺の長さを とし、以下のように頂点に名前を付けて…

正四面体の計量

目的は正十二面体、正二十面体の体積を求めることなんですが、ちょっと準備運動として正四面体、正六面体(立方体)、正八面体の体積等を求めていきす。 幾何学的対象の個数等 隣り合う2つの面のなす角 表面積 体積 内接球・辺に接する球・外接球の半径 一辺…

単位球体内と単位球面上の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次) & 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、今まで出てきた公式をまとめておきます。 ついでに単位球面上の一様分布 (uniform distribution on the unit sphere) も見ていきます。 こ…

単位球体内の一様分布 : 3次元

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次)。 今回は3次元。 やることは2次元の場合と同じ。 ちなみに3次元の単位球体は普通の「球」です。極座標3次元の極座標は以下のように与えられるのでした: 単位球内での積分は以下のようになり…

奇数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 前回に引き続き、今回は奇数次元の倭式極座標。シミュレーションなどではなく解析的に用いる場合には、右手系か左手系かを注意しないといけませんが*1、以下の話では無視しています。 3次元の場合は大丈夫なようです…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ラグランジュの未定乗数法編~

前回、極値条件を解いて点と平面の距離の公式を導きましたが、拘束条件がある場合の極値問題はラグランジュ乗数法 (method of Lagrange multiplier) を用いるのが定石なので、今回はその方法で点と平面の距離の公式を導いてみます(目次)。問題設定まず、記…

3次元の点と平面の距離の公式を導く ~ガリガリ計算編~

前回、 次元における点と 次元超平面との距離を与える公式を導きました。 そのついでとして3次元空間での点と平面との距離の公式を得ました。 今回は、その3次元での公式を、「点と直線の距離の公式を導く ~初等的解法~」で行ったのと同じような方法で導い…

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 3次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は計量テンソルを使って3次元のラプラシアンの極座標表示を求めてみます。3次元の極座標は以下のように定められていました: また、後のために位置ベクトル と変位ベクトル を以下のように決めます…

ラプラシアンの極座標表示 : 3次元 再考

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 前回行った方法を3次元に適用してみます。極座標の基底3次元での極座標の正規直交基底はこうとります: これらの基底の(極座標での)微分を計算すると以下のようになります: 微分演算子以前導いた結果…

ラプラシアンの極座標表示 : 3次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元のラプラシアンの極座標表示。 ラプラシアンは ですね。 3次元の極座標は次のように定義されてました(こちらを参照): また、極座標を直交座標を用いて表すと以下のようになります: 記事…

大学数学で求める球の体積:3次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元球の体積。結果は「球の体積の公式」になります。3次元球の体積3次元球 の体積を求めます。 「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 3次元」より、3次元極座標の体積要素は となるので(積分範…

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 3次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元の極座標。 計算の流れは前回と同じです。3次元極座標3次元の極座標は次のように定義されています: 3次元極座標の体積要素ヤコビ行列 ヤコビアンヤコビアンの計算は…

高校数学で求める球の体積 :3次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元。 半径 の3次元球 の体積 を求めます。 は半径 の普通の「球」です。 を 軸に垂直で球の中心から距離 の平面で切ると、半径 の「2次元球」(円)になり、その「2次元体積」(面…