読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

2次元の Laplace - Runge - Lenz ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、ケプラー問題でエネルギーや角運動量以外に保存される Laplace - Runge - Lenz ベクトル(以下、ラプラス・ベクトル)の2次元版を見ていきます。『ケプラー問題のある保存ベクト…

ケプラー問題のある保存ベクトル

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 ケプラー問題ではエネルギーと角運動量以外に保存されるベクトルが存在することが知られています。 今回は簡単にこのベクトルについて見ていきましょう。 このベクトルを使うと比較的簡単…

『君の名は。』の彗星は反重力物質である可能性

こういう系の記事を書くときは大体機を逸している気がしますが、DVD/Blu-ray の発売とか地上波放送とかあるだろうから書いときます。 ちなみに、拙者は『君の名は。』を観てないので劇中の設定とか全く分からず書いてます。前置き的記事はこちら。 jin115.co…

2次元のケプラー問題(斥力の場合)

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 数回の記事で、万有引力を念頭に、逆2乗法則の引力の場合に2次元のケプラー問題の運動や軌跡を解きました。 今回は斥力の場合に運動や軌跡がどうなるかを見ていきます。 万有引力には斥力…

2次元のケプラー問題 ~双曲線軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はケプラー問題で の場合の運動を求めます。 このときの質点の軌跡は双曲線となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 との関係は以下で与えられるのでし…

2次元のケプラー問題 ~楕円軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は『2次元のケプラー問題』記事の続きで、 の場合を行います。 このとき、離心率 は となり、楕円軌道となります。動径方向の運動『2次元のケプラー問題』より、動径 と時刻 は で関…

2次元のケプラー問題 ~放物線軌道の場合~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はケプラー問題で の場合の質点の運動を求めます。 この場合の軌道は放物線になります。放物線軌道の方程式『2次元のケプラー問題の軌跡』より、放物線軌道の方程式は で与えられます…

2次元のケプラー問題

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は以前に見た中心力ポテンシャルの問題を解く方法で、力が逆2乗法則に従うケプラー問題を解いてみます。運動方程式を解く手順として、まず座標等を時間の関数として求め、その後時間…

2次元のケプラー問題の軌跡

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は『中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ~2次元~』の方法を使って、ケプラー問題の軌跡を求めてみましょう。この記事の内容 この記事の内容 参考 ケプラー問題のポテンシャル 積分…

2次元調和振動子の軌跡

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、『中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ~2次元~』の内容を調和振動子に対して適用して、調和振動子の軌跡を求めて見ます。ポテンシャル調和振動子のポテンシャルは、ばね定数を…

中心力ポテンシャル中での質点の軌跡 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、2次元において中心力ポテンシャル中で運動する質点の描く軌跡を求める方法を見ていきます。『中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~』で、中心力ポテンシャル中で…

不定積分と偶関数・奇関数

高校数学では、定積分については偶関数・奇関数に対する便利な公式がありますね。 をそれぞれ偶関数、奇関数とする、つまり以下が成り立つとします: このとき、 を中点とする区間での定積分に対して次の公式が成り立ちます( は正の定数): 不定積分さて、…

逆双曲線関数を対数関数で表す

双曲線関数は基本的に単なる指数関数なので(『もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係』参照)、逆双曲線関数は対数関数で表すことができます。 を対数関数で表す とおくと 、これを指数関数で書き換えると つまり となりま…

2次無理関数のとある積分公式

この記事では、以下の積分 を実行してみます。 結果が実数関数であることを要請すると、 の値によって の範囲に制限が出てくる場合があるのでちょっと面倒。 後のために、被積分関数の平方根の中を平方完成しておきましょう: では、いくつかの場合に分けて…

古典力学 目次

1粒子系 1粒子系でのニュートンの運動方程式 1次元 力が働いてないときの運動 一定の力が働いているときの運動 空気抵抗のある系 速度に比例する空気抵抗を受ける落下 速度の2乗に比例する空気抵抗を受ける落下 調和振動子 1次元の調和振動子 調和振動子の強…

回転体の表面積をこのように計算してはいけない

ちょっと Twitter の TL である回転体の体積と面積の話を見かけたのですが、(あまりその TL での話の本筋とは関係はない)回転体の表面積の計算方法でちょっと気になったので確認記事を書き書き。高校数学(数学III)で、回転体の体積を積分で求める公式を…

2次元の調和振動子

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 以前の記事で1次元の調和振動子の運動方程式を解きましたが、今回は2次元の調和振動子を解きます。 直交座標と極座標でそれぞれ解いてみます。この記事の内容 この記事の内容 2次元調和振…

中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回、ラグランジアン形式と正準形式の運動方程式を極座標で表しましたが、今回は特にポテンシャル が中心力ポテンシャルの場合を考えます。【この記事の内容】 ラグランジアンとハミルト…

運動方程式の極座標表示 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 前回はニュートン力学での2次元の運動方程式を極座標表示しましたが、今回はラグランジュ形式と正準形式(ハミルトン形式)での運動方程式を極座標で表します。ラグランジュ形式ポテンシ…

ニュートンの運動方程式の極座標表示 ~2次元~

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回はニュートンの運動方程式の極座標表示を導いてみます。 ラグランジアン形式や正準形式の方がラクだったかと思いますが、ついでにやろうと思ったら意外と記事が長くなったのでこれら…

安倍マリオが東京からリオまでいくのにかかる時間を計算してみる

ちょっと機を逸した気もしますが、リオオリンピックの閉会式で安倍マリオが東京からリオデジャネイロまで地球内部を貫通して行くのにどれくらいの時間がかかったのかを計算してみましょう。 まぁ、結構単純化したモデルなので参考程度と思ってくださいまし。…

球対称な質量分布が作る重力ポテンシャル

ちょっと所用で重力ポテンシャルを計算する必要ができたので、学部の演習問題でやった積分の計算を久し振りにやり直してみました。 どちらかというと電磁気学で静電ポテンシャルの計算としてやった記憶の方が強いですが、まぁ全く同じ計算でした。質点と質量…

最大公約数

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回は最大公約数(GCD, Greatest Common Divsor)を求めるアルゴリズムを見ていきます。 最大公約数はアルゴリズムと言えばのユークリッド互除法で求められます。こ…

組合せの個数 その1

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ。 今回は組合せの個数を計算するアルゴリズム。 その1では、あまり実用的ではないです…

階乗と順列の個数

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回は再帰関数の例としてよく出てくる自然数の階乗と、それに関連する順列の個数を計算するアルゴリズムを見ていきます。 再帰関数の例としてよく出てくると言っても…

順列生成 その2

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回は前回に引き続き、全順列を生成するアルゴリズムを見ていきます。 全開は『Java によるアルゴリズム事典』に載っている4つのアルゴリズムのうち1つ目のものを見…

順列生成 その1

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回はある定まった次数(並べるモノの個数。 コード中では degree とする)の全順列を生成するアルゴリズムを見ていきます。 『Java によるアルゴリズム事典』には4…

指数法則と指数関数では底に課される制限が違うよ

ちょっと高校の頃にはあやふやだったなぁという回顧のエントリ。 指数法則や指数関数を考えるときに、底にどのような制限がつくかを整理してみます。 この記事中では、特に断らない限り自然数に0を含めます。1以上の自然数の指数 を実数、 を1以上の自然数と…

順列の辞書順序による番号付け ~階乗進法編~

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回は順列に辞書順序で番号を付けたとき、与えられた順列とその番号との相互の変換を考えます。 ただし番号は Int などの通常の整数値ではなく、階乗進法で表された…

階乗進法

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回は、階乗進法 (factorial representation) という数の表し方を見ていきます。階乗進法10進法が10を基数にしている、つまり10の累乗の級数で表されるのに対して、…

次の順列

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 以前に置換のアルゴリズムを扱ったときに、『Java によるアルゴリズム事典』に「置換の生成」がなくておかしいなぁと思ってたら、「順列」「順列の生成」の項目にある…

チェックサムと ISBN 番号

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 『Java によるアルゴリズム事典』で、関数型プログラミングで書きやすそうなアルゴリズムがあったので Scala で書いてみた。 今回は、データに誤りが無いかチェックす…

全置換の生成

『Java によるアルゴリズム事典』には載ってなかったんですが、n 個のモノの全置換を生成するコードを見ていきます(目次)。Scala では List などの順序付きのコレクション(正確には scala.collection.SeqLike トレイトのサブ型)では permutations() メソ…

置換の符号

Scala で『Java によるアルゴリズム事典』のコードを書き換えてみようシリーズ(目次)。 今回は指定された置換の符号を計算するアルゴリズム。 ここでは Java や Scala のコードで扱い易くするため、n 個の置換は1から n の整数ではなく、0から n-1 の整数…

Scala アルゴリズム事典

『Java によるアルゴリズム事典』に載ってるコードを Scala かつ再帰(できる限り末尾再帰)で書いていこうシリーズ。 と言っても、他のことで使うコードでこの本に載ってるアルゴリズムを使うときに記事更新するので、たまにしか記事書かないと思います。数…

高校数学で線型代数入門(番外編) ~行列式はどこからきたのか~

高校数学で線型代数(というか行列)をやってみようシリーズ(目次)。 次は行列式をやる予定なのですが、ベクトル(座標)の変換と行列式がどう関係しているかを導こうと思ってたらかなり長い記事になりそうだったので番外編として別に書くことにしました。…

高校数学で線型代数入門 (2) ~行列の演算~

高校数学で線型代数(というか行列)をやってみようシリーズ(目次)。 前回はベクトル(座標)の変換から行列を導入しましたが、今回はその行列に対して定義される和や積などの演算を見ていきます。この記事の内容 この記事の内容 参考 合成変換と行列の積 …

高校数学で線型代数入門 (1) ~行列の定義~

前回、軌跡を使ってグラフを回転する方法を見ましたが、ここまできたら行列を使わないのは逆に不自然な気もするので、簡単に行列(線型代数)に入門してみましょう。 数学的にあんまり(というかまったく)厳密ではないので、詳しくは専門書を参照のこと。シ…

グラフの回転を軌跡で理解する

数年前から高校数学で行列をやらなくなってグラフの回転ができなくなるなぁと思ってたんだけど*1、軌跡の問題だと思えば(言い張れば)今の高校数学の範囲内でグラフの回転を行うことができそうなので、実際にやってみます。 この記事内では回転は原点の周り…

グラフの平行移動を軌跡で理解する

数学Iで頂点が原点でない2次関数をやる際にグラフの平行移動をやりますが、どんなグラフに対しても使える平行移動の仕方はきちんとやろうとすると数学IIで習う軌跡を使った説明が必要かと思います(必ずしも軌跡を使わなければいけないというわけではなく、…

ベクトル解析の公式あれこれ ~微分編~

前回のベクトルの公式に続いて、今回はベクトル解析(ベクトルを微分・積分する)の公式をいくつか紹介 & 証明。 今回扱うのは微分のみ。参考 『理論電磁気学』 『解析入門 (2) 基礎数学 3』 準備 をスカラー場とし、 をベクトル場とする。 その他の記法や公…

ベクトルの公式あれこれ ~大学編~

大学の理系学部初期に線型代数や物理数学で出てくるベクトルの公式をいくつか紹介 & 証明参考 『理論電磁気学』 『齋藤正彦線型代数学』 準備ここでは3次元のベクトルのみを扱い太字で書きます。 成分を書き下す場合は縦ベクトルとして書きます: ベクトルの…

角運動量演算子の交換関係 ~まとめて計算編~

前回、角運動量演算子の交換関係を導きましたが、実質的に計算したのは の2つだけでした。 まぁ、別にそれでも問題ないんですが、この記事ではベクトルの各成分を添字で区別して、一般的に成分の交換関係を計算してみます。 前回導いた交換関係に関する公式…

角運動量演算子の交換関係

『超対称性理論とは何か 宇宙をつかさどる究極の対称性 (ブルーバックス)』の付録に角運動量演算子の交換関係の例題(?)が載ってたのでガリガリと導いてみることにします。 記事にしとけば、毎年齷齪(あくせく)した学生がアクセスしてくれるんじゃないかと…

正八面体の計量

今回は正八面体の表面積、体積等を求めていきす。 このあたりまでは高校レベルの数学で解けますね。 導出の都合上、今までと求める量の順番を変えてます。 幾何学的対象の個数等 内接球・辺に接する球・外接球の半径 表面積 体積 隣り合う2つの面のなす角 一…

正六面体(立方体)の計量

今回は正六面体(立方体)の表面積や体積など。 5つの正多面体の中で一番簡単。 粛々といきましょう。 幾何学的対象の個数等 隣り合う2つの面のなす角 表面積・体積 内接球・辺に接する球・外接球の半径 一辺の長さを とし、以下のように頂点に名前を付けて…

正四面体の計量

目的は正十二面体、正二十面体の体積を求めることなんですが、ちょっと準備運動として正四面体、正六面体(立方体)、正八面体の体積等を求めていきす。 幾何学的対象の個数等 隣り合う2つの面のなす角 表面積 体積 内接球・辺に接する球・外接球の半径 一辺…

正多角形の内接円の半径

前回、一辺の長さが の正多角形の面積を求めました。 そのとき、ついでに重心と頂点との交点との距離 も求めましたが、これはこの正多角形の外接円の半径ともなってました。 今回は同じ正多角形の内接円の半径 を求めます*1。方法その1上図より、直角三角形 …

正多角形の面積

正多角形の面積を求めます。 高校数学の問題集に載ってるレベルの問題です。正 角形の1辺の長さを 、重心(正 角形の外心と一致する) O と頂点の距離を (これは外接円の半径でもある)とします: 図中の点 A, B は正 角形の隣り合う頂点、点 M は辺 AB の…

36°の三角比

ちょっと後日使うので36°の三角比の値を求めてみます。 高校数学レベルの問題。 ここでは正五角形を使って図形的に求める幾何学的方法と、36°が満たす三角方程式を解く代数的方法代を見ていきます。幾何学的方法1辺の長さが1の正五角形を考えます。 対角線の…