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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

高校数学で導く3次方程式の解の公式

高校数学 代数学

高校数学では2次方程式の解の公式までしか学習しませんが、3次方程式の解の公式も高校数学の範囲内で導くことができます。 ここでは、解ける形の方程式から順々に一般的な形にしていきます。

  1. { x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = 0 }
  2. { x^3 - 3yzx - y^3 - z^3 = 0 }
  3. { x^3 + px + q = 0 }
  4. { ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 }

{ x } の3次方程式 { x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = 0 } の解

{ x } の3次方程式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = 0
\end{align*}
}

の解は次式で与えられる:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x &= -\omega^k y - \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2)
\end{align*}
}

ただし { \omega } は1の3乗根のうち実数でないものとします。

証明
以前の記事「とある高校数学の高次恒等式」で証明した因数分解の公式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^3 - 3yzx + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 + \omega^4 z)
\end{align*}
}

より、問題の方程式は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega^4 z) = 0
\end{align*}
}

となります。 よって、この方程式の解は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x &= -y-z,\; - \omega y - \omega^2 z,\; - \omega^2 y - \omega^4 z \\
        &= - \omega^k y - \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2)
\end{align*}
}


{ x } の3次方程式 { x^3 - 3yzx - y^3 - z^3 = 0 } の解

{ x } の3次方程式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^3 - 3yzx - y^3 - z^3 = 0
\end{align*}
}

の解は次式で与えられる:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x &= \omega^k y + \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2)
\end{align*}
}

ただし { \omega } は1の3乗根のうち実数でないものとします。

証明
前節の結果で

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        y \rightarrow -y \\
        z \rightarrow -z
    \end{cases}
\end{align*}
}

の置き換えをすれば示せます。

{ x } の3次方程式 { x^3  + px + q = 0 } の解

{ x } の3次方程式 { x^3  + px + q = 0 } の解は次式で与えられる:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x = \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}
        +\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 +\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
        + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\end{align*}
}

ただし { k = 0,\,1,\,2 }。 また { \omega } は1の3乗根のうち実数でないものとします。

証明
上記の方程式と前節の結果を見比べると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        p = -3yz \\
        q = -y^3 - z^3
    \end{cases} \cdots (1)
\end{align*}
}

の対応関係があることが分かります。 したがって、これらを逆に解いて { (y,\,z) }{ (p,\,q) } で表せば、前回の結果を用いて問題の方程式の解が得られます。

{ (y,\,z) }{ (p,\,q) } で表す
(1)より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        y^3 + z^3 = -q \\
        y^3z^3 = -\dfrac{p^3}{27}
    \end{cases}
\end{align*}
}

となるので、{ y^3,\,z^3 }{ t }2次方程式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    t^2 + q t - \frac{p^3}{27} = 0
\end{align*}
}

の解であることが分かります。 2次方程式の解の公式より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    y^3,\,z^3
        &= \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} \\[2mm]
        &= -\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}
\end{align*}
}

したがって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    y,\,z = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\end{align*}
}

方程式の解
前節の結果を用いれば、結局方程式 { x^3 + px + q = 0 } の解は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x &= \omega^k y + \omega^{2k} z \\[2mm]
        &= \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
            + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\end{align*}
}

となります。 ただし {k = 0,\, 1,\,2 }

{ x } の3次方程式 { ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 } の解

{ x } の3次方程式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{align*}
}

の解は次式で与えられる:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x = \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
        + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
        - \frac{b}{3a}
\end{align*}
}

ここで

  { \displaystyle
\begin{align*}
    p =  - \frac{b^2 - 3ac}{3a^2},\quad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}, \quad k = 0,\,1,\,2
\end{align*}
}

証明
方程式 { ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 } の両辺を { a } で割ると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0
\end{align*}
}

ここで以下のように変数を { x } から { \xi } に変換します:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x \rightarrow \xi = x + \frac{b}{3a}
\end{align*}
}

この変換によって方程式は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \left(\xi - \frac{b}{3a}\right)^3 + \frac{b}{a}\left(\xi - \frac{b}{3a}\right)^2 + \frac{c}{a}\left(\xi - \frac{b}{3a}\right)
        + \frac{d}{a} &= 0 \\[2mm]
    \xi^3 - \frac{b^2 - 3ac}{3a^2} \xi + \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} &= 0
\end{align*}
}

となるので

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        p =  - \dfrac{b^2 - 3ac}{3a^2} \\[2mm]
        q = \dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}
    \end{cases}
\end{align*}
}

とおけば前節の結果が使えて

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \xi &= \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
        + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \\[2mm]
    \therefore x &= \omega^k \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
        + \omega^{2k} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
        - \frac{b}{3a}
\end{align*}
}

となります。 ただし { k = 0,\,1,\,2 }

追記
平方根の中で、{ \left(-\frac{q}{2}\right)^2 } と書くべき場所を { -\left(\frac{q}{2}\right)^2 } 書いてたのは間違い。 平方の中の負符号も落として { \left( \frac{q}{2}\right)^2 } と修正しました。 (2013年10月22日)