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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

とある高校数学の高次恒等式

高校数学 代数学

今回は3次方程式の解の公式を導くのに使う3次の恒等式を導きます。 この恒等式は解の公式を導く以外にもしばしば使われるので、学生要チェック。

3元3次式の因数分解の公式

以下の恒等式因数分解の公式)が成り立つ:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 -xy - yz - zx)
\end{align*}
}

証明
ここでは右辺を x の多項式として展開して左辺と一致するという方法で証明します。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    &(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 -xy - yz - zx) \\[2mm]
    &= \{\mathbf{x} + (y + z) \}\{ \mathbf{x}^2 - (y + z)\mathbf{x} + (y^2 -yz + z^2) \} \\[2mm]
    &= \mathbf{x}^3 + \{ - (y + z) + (y + z) \}\mathbf{x}^2 \\
    &\qquad+ \{ (y^2 -yz + z^2) - (y + z)^2\}\mathbf{x} + (y + z)(y^2 -yz + z^2) \\[2mm]
    &= \mathbf{x}^3 -3yz\mathbf{x} + y^3 + z^3 \\[2mm]
    &= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
\end{align*}
}

3元2次式の因数分解

{ \omega } を1の3乗根のうち実数でない(すなわち1でない)ものとして、以下の恒等式因数分解の公式)が成り立つ:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (x + \omega y + \omega^2z)(x + \omega^2y + \omega^4z)
\end{align*}
}

{ \omega } の性質
まずは証明に使う { \omega } の性質を導きます。 { \omega } が1の3乗根なので { \omega^3 = 1 } が成り立つ。 これより

  { \displaystyle
\begin{align*}
    & \omega^3 - 1 = 0 \\
    & (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0
\end{align*}
}

ここで { \omega \ne 1 } より { \omega }{ \omega^2 + \omega + 1 = 0 } を満たす。 よって { \omega } は次の恒等式を満たします:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        \omega^3 = 1 \\
        \omega^2 + \omega + 1 = 0
    \end{cases}
\end{align*}
}

証明
ここでも、右辺を x多項式として展開して、左辺と等しいことを示します。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    &(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega^4 z)\\[2mm]
    &= \{ \mathbf{x} + (\omega y + \omega^2 z) \}\{ \mathbf{x} + (\omega^2 y + \omega z) \} \\[2mm]
    &= \mathbf{x}^2 + \{ (\omega^2 y + \omega z) + (\omega y + \omega^2 z) \}\mathbf{x}
        + (\omega y + \omega^2 z)(\omega^2 y + \omega z)\\[2mm]
    &= \mathbf{x}^2 + (\omega^2 + \omega)(y + z)\mathbf{x} + \omega^3 y^2 + (\omega^2 + \omega^4)yz + \omega^3 z^2 \\[2mm]
    &= \mathbf{x}^2 - (y + z)\mathbf{x} + y^2 - yz + z^2\\[2mm]
    &= x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx
\end{align*}
}

別解
上記の証明の他にも、{ x }2次方程式 { x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0 }2次方程式の解の公式で解いて、その解を用いて因数分解をしても同じ答えが導けます。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^2& - (y + z) x - yz + z^2 = 0 \\[2mm]
    x &= \frac{y+z \pm \sqrt{(y+z)^2 -4(y^2-yz+z^2)}}{2} \\[2mm]
        &= \frac{y+z \pm \sqrt{3}(y-z)i}{2} \\[2mm]
        &= \frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}y + \frac{1\mp\sqrt{3}i}{2}z
\end{align*}
}

式内は復号同順。 これと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \omega,\,\omega^2 = \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
\end{align*}
}

を用いれば、上記の恒等式を証明できます。

いくつかの系

3元3次式の因数分解
次の恒等式が成り立つ:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)(x + \omega^2 y + \omega^4 z)
\end{align*}
}

方程式の解
{ x } の3次方程式 { x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz  = 0 } の解は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    x &= - y - z,\; - \omega y - \omega^2 z,\; - \omega^2 y - \omega^4 z \\[2mm]
        &= -\omega^k y - \omega^{2k} z & (k = 0,\,1,\,2)
\end{align*}
}

で与えられる。