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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

高校数学で求める球の体積 :1次元

1次元 高校数学 目次

(なるべく)高校数学のみを使って、いろいろな次元の球の体積を求めてみます。

目次

1次元の球の体積(円周の長さ)

今回は1次元の場合。

半径  { r } の1次元球 { B_1(r) = \{ x \in \mathbf{R} | x^2 \le r^2 \} } の体積

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_1(r) = \int_{B_1(r)}dx
\end{align*}}

を求める。

{ B_1(r) } は「球」と書いてますが、これは単なる長さ{ 2r } の「線分」です:

  { \displaystyle\begin{align*}
    B_1(r) = \{x \in R | -r \le x \le r\}
\end{align*}}

「長さ 2r の線分」って書いた時点で、積分する必要ないんですけど、一応それっぽくやっておきましょう(笑):

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_1(r)
        &= \int_{-r}^r dx \\
        &= 2r
\end{align*}}

結果は

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_1(r) = 2r
\end{align*}}