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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

高校数学で求める球の体積 :4次元

(なるべく)高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は半径 { r } の4次元球 { B_4(r) = \{ (x,\,y,\,z,\,w) \in \mathbf{R}^4 | x^2+y^2+z^2+w^2 \le r^2 \} } の体積

  { \displaystyle V_4(r) = \int_{B_4(r)}dxdydzdw }

を求めます。 このあたりからが、普段あまり使わない体積になります。 でも計算の仕方は3次元までと同じ。

{ B_4(r) }{ x } 軸に垂直で球の中心から距離 { x } の「3次元平面」で切ると、半径 { \sqrt{r^2-x^2} } の「3次元球」(球)になり、その「3次元体積」(体積)は

  { \displaystyle V_3(\sqrt{r^2-x^2}) = \frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 }

となります。 したがって、{ V_4(r) } は以下のようになります:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    V_4(r) &= \int_{-r}^r V_3(\sqrt{r^2-x^2}) dx \\[2mm]
        &= \frac{4}{3}\pi \int_{-r}^r \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 dx \\[2mm]
        &= \frac{8}{3}\pi \int_0^r \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 dx
\end{align*}
}

2次元のときと同じように { x = r\sin\theta } とおいて積分変数を { x } から { \theta } に変換します:

積分測度
{ \displaystyle dx = r \cos \theta d\theta }
積分範囲
{ \displaystyle \theta : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2} }
被積分関数
{ \displaystyle \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 = r^3\cos^3\theta }

したがって

  { \displaystyle V_4(r) = \frac{8}{3}\pi r^4\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta }

{ \cos^4\theta } は、{ \cos\theta } の倍角の公式を2度使って

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos^4\theta
        &= \left(\cos^2\theta\right)^2 \\[2mm]
        &= \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2 \\[2mm]
        &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cos^22\theta \\[2mm]
        &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cdot\frac{1+\cos4\theta}{2} \\[2mm]
        &= \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta
\end{align*}}

なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta\right) d\theta \\[2mm]
    &= \left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta + \frac{1}{32}\sin 4\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[2mm]
    &= \frac{3}{16}\pi
\end{align*}}

よって、

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_4(r) &= \frac{8}{3}\pi r^4 \times \frac{3}{16} \pi \\[2mm]
        &= \frac{1}{2}\pi^2 r^4
\end{align*}}

結果をまとめると

  { \displaystyle V_4(r) = \frac{1}{2}\pi^2 r^4 }