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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

n次元球の体積をガンマ関数で表す

高次元 特殊関数

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は以前に導いたn次元球の体積の公式を、ガンマ関数を使って書いてみます。 以前までに導いた結果で今回使うのは下記の通り:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r) &= \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \prod_{i=1}^{n-2}I_i \\[4mm]
    I_n &= 
        \begin{cases}
            \dfrac{(n-1)!!}{n!!} & (n {\rm : odd}) \\[4mm]
            \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} & (n {\rm : even})
        \end{cases}
\end{align*}}

球の体積 { V_n(r) } をガンマ関数で表す手順はこんな感じになります:

  1. { I_n } をガンマ関数で表す
  2. { I_n } の積をガンマ関数で表す
  3. { V_n(r) } をガンマ関数で表す

{ I_n } をガンマ関数で表す

とあるガンマ関数の公式目録」で示したガンマ関数の公式より

  { \displaystyle\begin{align*}
    n!! = \begin{cases}
        \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot 2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1) & (n {\rm : odd}) \\[4mm]
        2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1) & (n {\rm : even})
    \end{cases}
\end{align*}}

であるから、n が奇数の場合

  { \displaystyle\begin{align*}
    I_n &= \frac{2^\frac{n-1}{2} \Gamma(\tfrac{n-1}{2}+1)}{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot 2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1)} \\
        &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}
\end{align*}}

n が偶数の場合

  { \displaystyle\begin{align*}
    I_n &= \frac{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot 2^\frac{n-1}{2} \Gamma(\tfrac{n-1}{2}+1)}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1)}\cdot \frac{\pi}{2} \\
     &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}
\end{align*}}

となり、どちらも同じ形で書けます。

  { \displaystyle\begin{align*}
    I_n = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}
\end{align*}}

おぉ?。 スッキリ。

{ I_n } の積をガンマ関数で表す

上で求めた { I_n } の表式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \prod_{i=1}^n I_i
    &= \prod_{i=1}^n \left\{\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\tfrac{\Gamma\left(\frac{i+1}{2}\right)}
      {\Gamma\left(\frac{i+2}{2}\right)}\right\} \\
    &= \left(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^n \cdot \tfrac{\Gamma\left(1\right)}
      {\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \tfrac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(2\right)}
        \cdot \tfrac{\Gamma\left(2\right)}{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}
        \cdots \tfrac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \\
    &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{2^{n}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}
\end{align*}}

約分によって大半の因子が消えるのは { I_n } の積をそのままの表式で計算したのと同じです。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \prod_{k=1}^{n}I_k = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{2^{n}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}
\end{align*}}

かなり簡潔になりました。

球の体積をガンマ関数で表す

では、最後の仕上げ。 上記の結果より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \prod_{k=1}^{n-2}I_k = \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}}}{2^{n-2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}
\end{align*}}

なので

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r)
        &= \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \prod_{i=1}^{n-2}I_i \\
        &= \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}}}{2^{n-2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\
        &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\
        &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}
\end{align*}}

これで完了。 ガンマ関数って、n 次元の球の体積書くためにある関数?ってくらいまとまって書けますね。

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r) =  \frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}
\end{align*}}

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