読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

6次の因数分解を考える

確認

まずは、後で使う2次と3次の因数分解の公式を確認しておきましょう。

2次の因数分解の公式
平方の差の因数分解公式:

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
\end{align*}}

3次の因数分解の公式
立方の和と差の因数分解公式:

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^3 - y^3 &= (x - y)(x^2 + xy + y^2) \\
    x^3 + y^3 &= (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\end{align*}}

6次の因数分解

さて、上記の公式を使って、6乗の差を因数分解してみましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^6 - y^6
\end{align*}}

この因数分解を2通りで行ってみます。

{ (x^3)^2 - (y^3)^2 } とみなして因数分解

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^6 - y^6
        &= (x^3)^2 - (y^3)^2 \\
        &= (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) \\
        &= (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)
\end{align*}}


{ (x^2)^3 - (y^2)^3 } とみなして因数分解

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^6 - y^6
        &= (x^2)^3 - (y^2)^3 \\
        &= (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) \\
        &= (x - y)(x + y)(x^4 + x^2y^2 + y^4)
\end{align*}}

これらの結果を見比べると

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)
\end{align*}}

という因数分解の公式が得られます。 まぁ、こんなマワリクドイことをしなくても、以下のように因数分解できますけどね:

  { \displaystyle\begin{align*}
    x^4 + x^2y^2 + y^4
        &= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 \\
        &= (x^2 + y^2)^2 -(xy)^2 \\
        &= (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy) \\
        &= (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)
\end{align*}}