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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

数列 nr^{n-1} の和

一般項 { a_n }

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n = n r^{n-1}
\end{align*}
}

(ただし { r \ne 1 } )で与えられる数列を考え、その n 項までの和を { S_n } とします:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    S_n = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}
\end{align*}
}

以下で、この和を計算します。

方法その1

{ S_n } を、等比級数の公式を導いた方法で計算します。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{matrix}
        & S_n &=& 1 &+\quad 2r &+\quad 3r^2  &+\quad \cdots &+\qquad\; nr^{n-1}\quad\, & \\
        -) & rS_n &=&  &\qquad r &+\quad 2r^2 &+\quad \cdots &+\quad (n-1)r^{n-1} &+\quad nr^n \\[2mm]
        \hline \\
        & (1-r)S_n &=& 1 &+\quad r &+\quad r^2 &+\quad \cdots &+\quad r^{n-1} &-\quad nr^n
    \end{matrix}
\end{align*}
}

よって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    (1-r)S_n
        &= \sum_{k=1}^n r^{k-1} - nr^n \\[4mm]
        &= \frac{1-r^n}{1-r} - nr^n \\[4mm]
        &= \frac{1-(n+1)r^n + nr^{n+1}}{1-r}
\end{align*}
}

したがって、{ S_n } は以下のようになります:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    S_n &= \frac{1-(n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}
\end{align*}
}

方法その2

次は微分を使ってガリガリ計算する方法。 まず、{ r } を変数と思って計算すると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \frac{d}{dr}\left(\sum_{k=1}^n r^k\right)
        &= \sum_{k=1}^n\frac{d}{dr}r^k \\
        &= \sum_{k=1}^n kr^{k-1} \\
        &= S_n
\end{align*}
}

を得ます。 ここで、等比級数の公式

  { \displaystyle
\begin{align*}
   \sum_{k=1}^n r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} = \frac{r-r^{n+1}}{1-r}
\end{align*}
}

を用いると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    S_n
        &= \frac{d}{dr}\left(\frac{r-r^{n+1}}{1-r}\right) \\
        &= \frac{\left\{1 - (n+1)r^n\right\}(1-r) + (r-r^{n+1})}{(1-r)^2} \\
        &= \frac{1 - (n+1)r^n + nr^{n+1}}{(1-r)^2}
\end{align*}
}

となり、方法その1と同じ結果を得ます。 めでたし、めでたし。