倭算数理研究所

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複素変数の双曲線関数

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 前回、複素変数の三角関数の表式を導きましたが、双曲線関数についても同様の表式を導いてみましょう。 つまり { x,\,y } を実数、{ i }虚数単位として、{ \sinh(x + iy),\, \cosh(x + iy) } などを { \sinh x,\, \cosh y } などで表してみます。

双曲線関数の場合も、以前の記事で導いた純虚数の引数に関する公式

  { \displaystyle \begin{align*}
  \sinh ix &= i\sin x \\
  \cosh ix &= \cos x
\end{align*}}

によって、自然と三角関数が現れてきます。

{ \sinh(x + iy),\,\cosh(x + iy) }

まずは sinh, cosh の表式。 これらは双曲線関数の加法定理を使えばすぐに導けます:

  { \displaystyle \begin{align*}
  \sinh(x+iy)
      &= \sinh x \cosh iy + \cosh x \sinh iy \\
      &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \\[2mm]
  \cosh(x + iy)
      &= \cosh x \cosh iy + \sinh x \sinh iy \\
      &= \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y
\end{align*}}

三角関数の場合と同様に、( { x,\,y } が実数なら)実部と虚部が別れた形になってます。

{ \tanh(x + iy),\, \coth(x + iy) }

tanh の表式を導くには、「もしも高校で双曲線関数をやったなら (10) : 双曲線関数 tanh の加法定理 再考」で導いた表式

  { \displaystyle \begin{align*}
  \tanh(x + y) = \frac{\sinh 2x + \sinh 2y}{\cosh 2x + \cosh 2y}
\end{align*}}

を用います。 双曲線関数の純虚数の引数に関する公式も使うと

  { \displaystyle \begin{align*}
  \tanh(x + iy)
      &= \frac{\sinh 2x + \sinh 2iy}{\cosh 2x + \cosh 2iy} \\[2mm]
      &= \frac{\sinh 2x + i\sin 2y}{\cosh 2x + \cos 2y}
\end{align*}}

となり、実部と虚部が分離された形にできました。 { \coth(x + iy) } についても同様に導けて

  { \displaystyle \begin{align*}
  \coth(x + iy)
      &= \frac{\sinh 2x - \sinh 2iy}{\cosh 2x - \cosh 2iy} \\[2mm]
      &= \frac{\sinh 2x - i\sin 2y}{\cosh 2x - \cos 2y}
\end{align*}}

を得ます。

公式まとめ

  { \displaystyle \begin{align*}
  \sinh(x+iy) &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \\[2mm]
  \cosh(x + iy) &= \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \\[2mm]
  \tanh(x + iy) &= \frac{\sinh 2x + i\sin 2y}{\cosh 2x + \cos 2y} \\[2mm]
  \coth(x + iy) &= \frac{\sinh 2x - i\sin 2y}{\cosh 2x - \cos 2y}
\end{align*}}

Javaによるアルゴリズム事典

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