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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ラプラシアンの極座標表示 : 4次元

数学 極座標 高次元

ラプラシアン極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 前々回前回で行った方法を使って、4次元のラプラシアン極座標表示を求めてみます。

4次元極座標

4次元の極座標は以下のようにとるのでした(こちら参照):

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = r\cos\theta_1 \\
        x _2 = r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
        x_3 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
        x_4 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        0 \le \theta_1 \le \pi \\
        0 \le \theta_2 \le \pi \\
        0 \le \theta_3 \le 2\pi 
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

極座標の基底

4次元での極座標の正規直交基底は以下のようにとります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    {\bf e}_r &=
        \begin{pmatrix} \cos\theta_1 \\
            \sin\theta_1 \cos\theta_2 \\
            \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\
            \sin\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3
        \end{pmatrix} &
    {\bf e}_1 &=
        \begin{pmatrix}
            -\sin\theta_1 \\
            \cos\theta_1 \cos\theta_2 \\
            \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\
            \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3
        \end{pmatrix} \\[4mm]
    {\bf e}_2 &=
        \begin{pmatrix}
            0 \\
            -\sin\theta_2 \\
            \cos\theta_2 \cos\theta_3 \\
            \cos\theta_2\sin\theta_3
       \end{pmatrix} &
    {\bf e}_3 &=
        \begin{pmatrix}
           0 \\
           0 \\
           -\sin\theta_3 \\
           \cos\theta_3
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

これらの基底の(極座標での)微分を計算すると以下のようになります:
{ r } 微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial r}
    =\frac{\partial {\bf e}_1}{\partial r}
    =\frac{\partial {\bf e}_2}{\partial r}
    =frac{\partial {\bf e}_3}{\partial r} = {\bf 0}
\end{align*}}

{ \theta_1 } 微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta_1} &= {\bf e}_1 &
    \frac{\partial {\bf e}_1}{\partial \theta_1} &= -{\bf e}_r &
    \frac{\partial {\bf e}_2}{\partial \theta_1} &=
    \frac{\partial {\bf e}_3}{\partial \theta_1} = {\bf 0}
\end{align*}}

{ \theta_2 } 微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta_2} &= {\bf e}_2\sin\theta_1 \\
    \frac{\partial {\bf e}_1}{\partial \theta_2} &= {\bf e}_2\cos\theta_1 \\
    \frac{\partial {\bf e}_2}{\partial \theta_2} &= - {\bf e}_r\sin\theta_2 - {\bf e}_1\cos\theta_2 \\
    \frac{\partial {\bf e}_3}{\partial \theta_2} &= {\bf 0}
\end{align*}}

{ \theta_3 } 微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta_3} &= {\bf e}_3\sin\theta_1\sin\theta_2 \\
    \frac{\partial {\bf e}_1}{\partial \theta_3} &= {\bf e}_3\cos\theta_1\sin\theta_2 \\
    \frac{\partial {\bf e}_2}{\partial \theta_3} &= {\bf e}_3\cos\theta_2 \\
    \frac{\partial {\bf e}_3}{\partial \theta_3} &= - {\bf e}_r\sin\theta_1\sin\theta_2
        - {\bf e}_1\cos\theta_1\sin\theta_2 - {\bf e}_2\cos\theta_2
\end{align*}}

微分演算子

∇を頑張って計算して、極座標と上で導入した極座標の正規直交基底を使って表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \nabla
        = {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{1}{r}{\bf e}_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}
            + \frac{1}{r\sin\theta_1}{\bf e}_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}
            + \frac{1}{r\sin\theta_1\sin\theta_2}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}
\end{align*}}

となります。 最初の3項は3次元の場合と同じになりますね(基底ベクトルは異なりますが)。 この演算子 { \nabla } を使ってラプラシアン { \triangle } を計算しましょう。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle
        &= {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla
            + \frac{1}{r}{\bf e}_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}\cdot\nabla 
            + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}\cdot\nabla \\
            & \qquad + \frac{1}{r\sin\theta_1\sin\theta_2}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}\cdot\nabla
\end{align*}}

各項それぞれに分けて、微分内積を計算します:

第1項

  { \displaystyle\begin{align*}
    {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla = \frac{\partial^2}{\partial r^2}
\end{align*}}

第2項

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta_1}\cdot\nabla = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_1^2}
\end{align*}}

第3項

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1}{r\sin\theta_1}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}\cdot\nabla
        &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{\cos\theta_1}{r^2\sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1}
            + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial^2}{\partial \theta_2^2}
\end{align*}}

第4項

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1}{r\sin\theta_1\sin\theta_2}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}\cdot\nabla 
        &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{\cos\theta_1}{r^2\sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1} \\
            & \qquad + \frac{\cos\theta_2}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_2}\\
            & \qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2}
\end{align*}}

ラプラシアン
以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle
        &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{3}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\
        &\qquad + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_1^2}
            + \frac{2\cos\theta_1}{r^2\sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1} \\
        &\qquad\qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial^2}{\partial \theta_2^2}
            + \frac{\cos\theta_2}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_2} \\
        &\qquad\qquad\qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2}
\end{align*}}

これは次のように変形できます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle
        &= \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^3\frac{\partial}{\partial r}\right)
            + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1}\left(\sin^2\theta_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \\
        &\qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2} \frac{\partial}{\partial \theta_2}
            \left(\sin\theta_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}\right)
            + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2}
\end{align*}}

おっ、一般次元でのラプラシアンの形が見えてきそう。