倭算数理研究所

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ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 4次元

ラプラシアン極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は計量テンソルを用いてラプラシアン極座標表示を求める方法を、4次元に対して行ってみます。

4次元極座標

4次元極座標は次のように定められてるのでした:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = r\cos\theta_1 \\
        x _2 = r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
        x_3 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
        x_4 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        0 \le \theta_1 \le \pi \\
        0 \le \theta_2 \le \pi \\
        0 \le \theta_3 \le 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

計量を計算するために、位置ベクトル { \textbf{r} } を導入しておきます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{r}
        = \begin{pmatrix}
            r\cos\theta_1 \\
            r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
            r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
            r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

極座標の直交基底

4次元でも、計算の補助として4次元極座標の正規直交基底を導入しましょう。 以下のように正規直交基底を取ります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{e}_r
        &= \begin{pmatrix}
            \cos\theta_1 \\
            \sin\theta_1 \cos\theta_2 \\
            \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\
            \sin\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3
       \end{pmatrix} &
    \textbf{e}_1
        &= \begin{pmatrix}
            -\sin\theta_1 \\
            \cos\theta_1 \cos\theta_2 \\
            \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\
            \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3
        \end{pmatrix} \\[4mm]
    \textbf{e}_2
        &= \begin{pmatrix}
            0 \\
            -\sin\theta_2 \\
            \cos\theta_2 \cos\theta_3 \\
            \cos\theta_2\sin\theta_3
        \end{pmatrix} &
    \textbf{e}_3
        &= \begin{pmatrix}
            0 \\
            0 \\
            -\sin\theta_3 \\
            \cos\theta_3
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

各基底ベクトルの長さが1であることや、互いに直交していることは計算を頑張れば確かめられると思います。 位置ベクトル { \textbf{r} }微分はこれらの基底ベクトルを用いて以下のように表せます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial r} &= {\bf e}_r, &
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta_1} &= r {\bf e}_1, &
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta_2} &= r\sin\theta_1{\bf e}_2, &
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta_3} &= r\sin\theta_1\sin\theta_2{\bf e}_3
\end{align*}}

計量テンソル

連鎖律を用いると、変位ベクトル(位置ベクトルの微分{ d\textbf{r} } は上記の基底ベクトルを用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    d{\bf r}
        &= \frac{\partial {\bf r}}{\partial r}dr
            + \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta_1}d\theta_1
            +\frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta_2}d\theta_2
            +\frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta_3}d\theta_3 \\
        &= {\bf e}_rdr
            + r{\bf e}_1d\theta_1
            + r\sin\theta_1{\bf e}_2d\theta_2
            + r\sin\theta_1\sin\theta_2{\bf e}_3d\theta_3
\end{align*}}

となり、その2乗(自身との内積)は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
  d{\bf r}^2 = dr^2 + r^2d\theta_1^2 + r^2\sin^2\theta_1d\theta_2^2 + r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2d\theta_3^2
\end{align*}}

これより、極座標の計量テンソル { g_{ij} } の表式として

  { \displaystyle\begin{align*}
    g_{ij}
        &= \begin{pmatrix}
            1 &&& \\
            &r^2&& \\
            &&r^2\sin^2\theta_2& \\
            &&& r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2
        \end{pmatrix} &
    \left(i,\,j = r,\,1,\,2,\,3\right)
\end{align*}}

が得られます(成分が0の部分は省略)。 したがって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \rho_r &= 1, &
    \rho_1 &= r, &
    \rho_2 &= r\sin\theta_1, &
    \rho_3 &= r\sin\theta_1\sin\theta_2
\end{align*}}

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left(\sqrt{g} = r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2\right)
\end{align*}}

ラプラシアン

以上の結果を用いて4次元極座標ラプラシアンを計算しましょう。 以前の記事で書いた結果を使うと、{ \rho } を用いて4次元のラプラシアンは以下のように表すことができます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \triangle_4
    &= \frac{1}{\rho_r\rho_1\rho_2\rho_3}
        \left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\rho_1\rho_2\rho_3} {\rho_r}\frac{\partial}{\partial r}\right)
      + \frac{\partial}{\partial \theta_1}\left(\frac{\rho_r\rho_2\rho_3}{\rho_1}
        \frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \right. \\
    &\qquad + \left. \frac{\partial}{\partial \theta_2}\left(\frac{\rho_r\rho_1\rho_3}{\rho_2}
        \frac{\partial}{\partial \theta_2}\right)
      + \frac{\partial}{\partial \theta_3}\left(\frac{\rho_r\rho_1\rho_2}{\rho_3}
        \frac{\partial}{\partial \theta_3}\right) \right\}
\end{align*}}

ここに、上記で得られた { \rho } の表式を代入して計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \triangle_4
    &= \frac{1}{r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2}\left\{\frac{\partial}{\partial r}
        \left(r^3\sin^2\theta_1\frac{\partial}{\partial r}\right)
      + \frac{\partial}{\partial \theta_1}\left(r\sin^2\theta_1\sin\theta_2\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \right. \\
    &\qquad + \left. \frac{\partial}{\partial \theta_2}\left(r\sin\theta_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}\right)
      + \frac{\partial}{\partial \theta_3}\left(\frac{r}{\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_3}\right) \right\}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  \triangle_4
    &= \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^3\frac{\partial}{\partial r}\right) \\[2mm]
    & \quad\quad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1}
      \left(\sin^2\theta_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \\[2mm]
    &\quad\quad\quad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2}
      \frac{\partial}{\partial \theta_2}\left(\sin\theta_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}\right) \\[2mm]
    & \quad\quad\quad\quad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2}
\end{align*}}

となり、以前の結果が得られました。