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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

4次元倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 以前の記事で何度か { n }次元の極座標というのを扱いましたが、実は4次元以上ではこれとは別の極座標を定義することができます。 2次元、3次元では { x,\,y,\,z }{ \sin,\, \cos } の入れ替えを除いては本質的に1つの極座標しかとれないので、この「極座標の取り方が複数ある」という性質は4次元以上に特有のものです*1

具体的な定義は後日(今回は4次元のみ)述べますが、以降、この極座標のことを「倭式極座標」と呼ぶことにします*2。 で、普通に用いられている極座標とは異なる極座標を定義することで何が嬉しいかというと、

  • 倭式極座標体積要素が積分しやすい形にまとめられる
  • { n }次元球面上やn次元球体内に分布する一様乱数を生成できる*3

というものがあります。 これらの性質についてはさらに後日やることにして、今回は4次元の場合を見ていきましょう。

4次元倭式極座標の定義

では、具体的に4次元の倭式極座標の定義を見てみましょう。 まずは直交座標を倭式極座標で表した定義式*4

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = r\sin\theta_1\sin\varphi_1 \\
        x_2 = r\sin\theta_1\cos\varphi_1 \\
        x_3 = r\cos\theta_1\sin\varphi_2 \\
        x_4 = r\cos\theta_1\cos\varphi_2
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le r \le \infty \\[2mm]
        0 \le \theta_1 \le \dfrac{\pi}{2} \\[2mm]
        0 \le \varphi_1 \le 2\pi \\[2mm]
        0 \le \varphi_2 \le 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

角度変数 { ( \theta,\, \varphi } は定義域に注意。 また、{ \theta_1 } は添字をつける必要はありませんが、{ n } 次元に拡張するときのために敢えてつけてます。 この定義を逆に解いて、倭式極座標を直交座標で表すと

  { \displaystyle\begin{align*}
    r &= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2} &
    \theta_1 &= \tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}{\sqrt{x_3^2+x_4^2}}\right) \\[2mm]
    \varphi_1 &= \tan^{-1}\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right) &
    \varphi_2 &= \tan^{-1}\left(\dfrac{x_3}{x_4}\right)
\end{align*}}

となります。 まぁ、普通の極座標とそんなには違いませんね。 この定義以外、ヤコビアンラプラシアンの計算などは普通の極座標と同じようにできます。 この記事では、

を見ていきます。 4次元球の体積やラプラシアンの計算は後日に。

正規直交基底と位置ベクトルの微分

4次元倭式極座標では、正規直交基底を以下のように取ります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{e}_r
        &= \begin{pmatrix}
            \sin\theta_1\sin\varphi_1 \\
            \sin\theta_1\cos\varphi_1 \\
            \cos\theta_1\sin\varphi_2 \\
            \cos\theta_1\cos\varphi_2
        \end{pmatrix} &
    \textbf{e}_1
        &= \begin{pmatrix}
            \cos\theta_1\sin\varphi_1 \\
            \cos\theta_1\cos\varphi_1 \\
            -\sin\theta_1\sin\varphi_2 \\
            -\sin\theta_1\cos\varphi_2
        \end{pmatrix} \\[2mm]
    \textbf{e}_{1'}
        &= \begin{pmatrix}
            \cos\varphi_1 \\
            -\sin\varphi_1 \\
            0 \\
            0
        \end{pmatrix} &
    \textbf{e}_{2'}
        &= \begin{pmatrix}
            0 \\
            0 \\
            \cos\varphi_2 \\
            -\sin\varphi_2
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

頑張って計算すれば、以下のような正規直交条件を示せます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{e}_i\cdot{\bf e}_j &= \delta_{ij} & \left(i,\,j = r,\,1,\,1',\,2'\right)
\end{align*}}

ここで、位置ベクトル { r }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{r}
        = \begin{pmatrix}
            r\sin\theta_1\sin\varphi_1 \\
            r\sin\theta_1\cos\varphi_1 \\
            r\cos\theta_1\sin\varphi_2 \\
            r\cos\theta_1\cos\varphi_2
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

と定義すると、位置ベクトルの各変数での微分は以下のようになります(まぁ、これが最初にありきかも知れませんが):

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial \textbf{r}}{\partial r} &= \textbf{e}_r &
    \frac{\partial \textbf{r}}{\partial \theta_1} &= r\textbf{e}_1 &
    \frac{\partial \textbf{r}}{\partial \varphi_1} &= r\sin\theta_1\textbf{e}_{1'} &
    \frac{\partial \textbf{r}}{\partial \varphi_2} &= r\cos\theta_1\textbf{e}_{2'}
\end{align*}}

計量テンソル : Metric Tensor

計量テンソルを求めるために上記の変位ベクトル、つまり位置ベクトルの微分を計算しましょう。 連鎖律と位置ベクトルの倭式極座標による微分の表式を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
  d{\bf r}
    &= \frac{\partial \textbf{r}}{\partial r}dr + \frac{\partial \textbf{r}}{\partial \theta_1}d\theta_1
      + \frac{\partial \textbf{r}}{\partial \varphi_1}d\varphi_1
      + \frac{\partial \textbf{r}}{\partial \varphi_2}d\varphi_2 \\[2mm]
    &= \textbf{e}_rdr + r\textbf{e}_1 d\theta_1 + r\sin\theta_1\textbf{e}_{1'}d\varphi_1
      + r\cos\theta_1\textbf{e}_{2'}d\varphi_2
\end{align*}}

となります。 次に変位ベクトルの2乗(自身との内積)を計算しましょう。 基底ベクトルの正規直交性を使えば簡単に計算できて

  { \displaystyle\begin{align*}
    d{\bf r}^2 = dr^2 + r^2d\theta_1^2 + r^2\sin^2\theta_1d\varphi_1^2 + r^2\cos^2\theta_1d\varphi_2^2
\end{align*}}

を得ます。 よって、計量テンソルは以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    g_{ij} = \begin{pmatrix}
        1&&& \\
        &r^2&& \\
        &&r^2\sin^2\theta_1& \\
        &&&r^2\cos^2\theta_1
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

ヤコビアン : Jacobian

以前の記事「極座標のヤコビアン?計量テンソル編? : n次元」の最初に書いた公式より、ヤコビアン{ \sqrt{g} } に等しく、それは { \rho } を使って簡単に計算できます。 倭式極座標の場合、各 { \rho } の表式は

  { \displaystyle\begin{align*}
    \rho_r & = 1 &
    \rho_1 &= r &
    \rho_{1'} &= r\sin\theta_1 &
    \rho_{2'} &= r\cos\theta_1 
\end{align*}}

となるので、結局、ヤコビアン

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sqrt{g} = r^3\sin\theta_1\cos\theta_1
\end{align*}}

となります。 このヤコビアンは一見、通常の極座標のものより複雑に感じるかも知れませんが、球の体積を積分する場合などはむしろこちらの方が簡単に計算できます。 まぁ、それは後日のお楽しみに。

ニュートン力学からはじめる アインシュタインの相対性理論 (KS物理専門書)

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*1:この世界が3次元空間であることと何か関係があると面白いんですけど。

*2:まじめに名前をつけようとすると「2階の再帰極座標」みたいな感じかな。 これは { n }次元の倭式極座標の定義(そのうちやる予定)を見ていただければ分かるかと。

*3:この倭式極座標を用いなくてもこれらの一様分布は生成できますが、倭式極座標による生成は、通常使われる Box-Muller 方よりも効率よく生成できます。

*4:ちなみに、通常の4次元極座標の定義はこちらを参照。