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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

4次元倭式極座標で求める4次元球の体積

数学 極座標 高次元

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、前回導入した4次元倭式極座標を用いて、4次元球の体積を計算してみましょう。

4次元極座標の体積要素

前回の結果より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sqrt{g} = r^3\sin\theta_1\cos\theta_1
\end{align*}}

なので、4次元倭式極座標での体積要素は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    dx_1dx_2dx_3dx_4 = r^3\sin\theta_1\cos\theta_1 drd\theta_1d\varphi_1d\varphi_2
\end{align*}}

4次元球とその体積

半径 { a } の4次元球を { B_4(a) } とし、その体積を { V_4(a) } とします。 つまり

  { \displaystyle\begin{align*}
    B_4(a) = \left\{(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4) \left| \sum_{i=1}^4x_i^2 \le a^2 \right.\right\}
    V_4(a) = \int_{B_4(a)}dx_1dx_2dx_3dx_4
\end{align*}}

右辺の積分を倭式極座標に変換して、倭式極座標での角度変数の定義域が

  { \displaystyle\begin{align*}
    & 0 \le \theta_1 \le \dfrac{\pi}{2} & &0 \le \varphi_1 \le 2\pi & & 0 \le \varphi_2 \le 2\pi
\end{align*}}

であったことに注意すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_4(a) = \int_0^a r^3dr \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta_1\cos\theta_1d\theta_1 \int_0^{2\pi}d\varphi_1 \int_0^{2\pi}d\varphi_2
\end{align*}}

となります。 そのまま積分してもいいんですが、ここで以下のような変数を定義しましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
    R &= r^4 ,&
    \Theta_1 &= \sin^2\theta_1
\end{align*}}

このとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    dR &= 4r^3dr ,&
    d\Theta_1 &= 2\sin\theta_1\cos\theta_1d\theta_1
\end{align*}}

なので、これらの変数を用いて { V_4(a) } を計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_4(a) &= \frac{1}{4\cdot2}\int_0^{a^4}dR\int_0^1d\Theta_1\int_0^{2\pi}d\varphi_1\int_0^{2\pi}d\varphi_2 \\
        &= \frac{1}{4\cdot2}\cdot a^4 \cdot 1 \cdot 2\pi \cdot 2\pi \\
        &= \frac{1}{2}\pi^2 a^4
\end{align*}}

これは以前の結果と一致します。

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