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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ニュートンの冷却の法則

熱力学

例えば、コップに入れられた熱いコーヒーが周囲の温度によって冷まされるような場合、温度の(時間に関する)変化の割合は、その温度と周囲の温度との差に比例します。 これを「ニュートンの冷却の法則 (Newton's law of cooling)」といいます(wikipedia:ニュートンの冷却の法則)。 この法則は経験的な法則で、成り立つための仮定、条件は

  • コーヒーと周囲の温度差があまり大きくない
  • コーヒーの温度は(空間的に)一様とみなせる

などがあります。 ただし、日常の範囲では充分によく成り立つそうです。

微分方程式

ニュートンの冷却の法則を表す微分方程式

  { \displaystyle \begin{align*}
  \frac{dT}{dt} &= -r (T - T_s) & \cdots(*)
\end{align*} }

で表されます。 ここで

変数
{ t } は時間、{ T } はコーヒーの温度(時間の関数であることを明示したい場合は { T(t) } と書く)
定数
{ T_s } は周囲 (surroundings) の温度、{ r } は冷却定数

です。 冷却定数 { r }

  • 熱移動の機構
  • 周囲との接触面積
  • コーヒーの熱的性質

などによって決まる定数です。

解析解

微分方程式 (*) を解析的に解いてみましょう。 初期条件は { T(0) = T_0 } とします。

変数変換 : { T(t) \rightarrow \tau(t) }
{ \tau(t) = T(t) - T_s } とおき、微分方程式 (*) を { \tau } に付いての微分方程式に書き換えると

  { \displaystyle \begin{align*}
  \frac{d\tau}{dt} &= -r\tau & \cdots (1)
\end{align*} }

となります。 また、初期条件は

  { \displaystyle \begin{align*}
  \tau(0) &= T_0 - T_s & \cdots (2)
\end{align*} }

となります。

微分方程式積分
(1) 式より

  { \displaystyle \begin{align*}
  \frac{d\tau}{\tau} = -rdt
\end{align*} }

両辺を積分すると、積分定数{ C } として

  { \displaystyle \begin{align*}
  \log\tau &= -rt + C \\
  \therefore \tau &= A\,e^{-rt} &(A = e^{C})
\end{align*} }

を得ます。 ここに初期条件 (2) を課すと

  { \displaystyle \begin{align*}
  T_0 - T_s = A
\end{align*} }

よって

  { \displaystyle \begin{align*}
   \tau(t) = (T_0 - T_s)\,e^{-rt}
\end{align*} }

変数変換 : { \tau(t) \rightarrow T(t) }
変数を { T(t) } に戻すと

  { \displaystyle \begin{align*}
  T(t) = T_s + (T_0 - T_s)\,e^{-rt}
\end{align*} }

結果
結局、(*) 式の解析解は以下で与えられます:

  { \displaystyle \begin{align*}
  T(t) = T_s + (T_0 - T_s)\,e^{-rt}
\end{align*} }

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