倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

双曲線関数の冪級数展開

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数の冪級数展開(オイラー展開)の表式を導きます。 三角関数の場合と同じように、冪級数展開の定義式を使わずに、指数関数の冪級数展開とオイラーの公式から導いています。 

指数関数の冪級数展開

指数関数の冪級数展開は以下で与えられます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{align*}}

{ \sinh x } の冪級数展開

{ \sinh x } は指数関数を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}
\end{align*}}

と表されるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh x
        &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{x^n}{n!} - \frac{(-x)^n}{n!}\right\} \\[2mm]
        &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 - (-1)^n}{2} \frac{x^n}{n!}\right\}
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1-(-1)^n}{2}
        = \begin{cases}
            0 & (n \,{\rm : even}) \\
            1 & (n \,{\rm : odd})
       \end{cases}
\end{align*}}

より、{ n = 2m + 1 }{ m }自然数*1)として

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh x = \sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}
\end{align*}}

{ \cosh x } の冪級数展開

{ \cosh x } は指数関数を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
\end{align*}}

と表されるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cosh x
        &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{x^n}{n!} + \frac{(-x)^n}{n!}\right\} \\[2mm]
        &= \sum_{n=0}^\infty\left\{\frac{1 + (-1)^n}{2}\frac{x^n}{n!}\right\}
\end{align*}}

ここで { n = 2m }{ m }自然数)として

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cosh x &= \sum_{m=0}^\infty\frac{x^{2m}}{(2m)!}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} \\
    \cosh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m}}{(2m)!}
\end{align*}}

級数の最初の数項

級数 { x } の5次まで書き下すと以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &
        &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\
    \sinh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} &
        &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\
    \cosh x &= \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m}}{(2m)!} &
        &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\end{align*}}

解析入門 (1)

解析入門 (1)

解析入門 (2)     基礎数学 3

解析入門 (2) 基礎数学 3

*1:0 は自然数に含めてます。