Green 関数の方法 - 倭算数理研究所

${ x }$ の関数 ${ y(x) }$ に対して、次の非斉次の線形微分方程式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]y(x) &= af(x) & \cdots (*) \end{align*} }$

を考えます。　ここで

${ D[\tfrac{\partial}{\partial x}] }$ は微分を含み、 ${ y(x) }$ に作用する線形演算子
${ a }$ は定数
${ f(x) }$ は任意の関数

です。　 ${ a }$ は入れないことも多いですが、物理学では右辺に負符号を入れる場合があるので、少し一般化して ${ a }$ を導入しています。　以下で、こういう類の微分方程式を解く際に用いられる Green （グリーン）関数の方法を見ていきます。

Green 関数の定義

Green 関数は以下の非斉次微分方程式を満たす関数 ${ G(x) }$ として定義されます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]G(x) &= a\delta(x) & \cdots (1) \end{align*} }$

右辺が Dirac （ディラック）のデルタ関数になっています。　この Green 関数を用いて、(*) 式の特殊解は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} y(x) = \int_{\bf R} G(x-x')f(x') dx' \end{align*} }$

で与えられます。　積分範囲は ${ -\infty }$ から ${ \infty }$ です（以下同様）。　実際、この ${ y(x) }$ に微分演算子を作用させると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]y(x) &= D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]\int_{\bf R} G(x-x')f(x') dx' \\ &= \int_{\bf R} \left\{D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]G(x-x')\right\} f(x') dx' \\ &= a \int_{\bf R} \delta(x-x') f(x')dx' \\ &= af(x) \end{align*} }$

となり、(*) 式を満たすことが分かります。　ちなみに

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]G(x-x') = a\delta(x-x') \end{align*} }$

を使ってます。

Fourier 変換で Green 関数を求める

(1) 式を満たす Green 関数 ${ G(x) }$ は、よく Fourier （フーリエ）変換を用いて解かれます。　ここではある程度一般的に Fourier 変換を用いた解法を見ていきましょう。　まず ${ G(x) }$ を Fourier 積分で書きます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} G(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\bf R} \tilde{G}(k)\,e^{ikx}dk & \cdots(2) \end{align*} }$

この ${ G(x) }$ に微分演算子 ${ D }$ を作用させると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]G(x) &= D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\bf R} \tilde{G}(k)\,e^{ikx}dk\right\} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\bf R} \tilde{G}(k)\left\{D\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\right]e^{ikx}\right\}dk \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\bf R} D\left[ik\right] \tilde{G}(k)\,e^{ikx}dk \end{align*} }$

最後の行の ${ D[ik] }$ は線形演算子ではなく、単なる ${ ik }$ の多項式です。　また、デルタ関数を Fourier 積分で書くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \delta(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{\bf R} e^{ikx}dk \end{align*} }$

となるので、結局、Green 関数が満たすべき微分方程式 (1) は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\bf R} D\left[ik\right] \tilde{G}(k)\,e^{ikx}dk = \frac{a}{2\pi} \int_{\bf R} e^{ik'x}dk' \end{align*} }$

となります。　ここで、両辺に ${ e^{-ik''x} }$ をかけて ${ x }$ について積分し、直交関係

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{1}{2\pi}\int_{\bf R} e^{i(k-\ell)x}dx = \delta(k-\ell) \end{align*} }$

を使うと（ ${ k'' }$ を改めて ${ k }$ と置き換えて）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &\sqrt{2\pi} D\left[ik\right]\tilde{G}(k) = a \\ \therefore \;& \tilde{G}(k) = \frac{a}{\sqrt{2\pi} D\left[ik\right]} \end{align*} }$

を得ます。　この結果を (2) 式に代入すると、 ${ G(x) }$ は以下のような Fourier 積分で表されることが分かります：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} G(x) = \frac{a}{2\pi}\int_{\bf R} \frac{e^{ikx}}{D\left[ik\right]}dk \end{align*} }$

具体例

あまりキチンとは解きませんが、少し具体的な例を見てみましょう。　電荷分布 ${ \rho(\textbf{x}) }$ が与えられたときに静電ポテンシャル ${ \phi(\textbf{x}) }$ が満たすべき方程式は、以下のような Poisson （ポアソン）方程式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \triangle \phi({\bf x}) = -\frac{\rho({\bf x})}{\varepsilon_0} \end{align*} }$

で与えられます。　ここでは3次元だとして上記の理論（1次元でしたが、適当に次元を上げて）との対応関係を考えると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} y({\bf x}) &= \phi({\bf x}) \\ f({\bf x}) &= \rho({\bf x}) \\ D\left[\tfrac{\partial}{\partial {\bf x}}\right] &= \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_3^2} \\ a &= -1 \end{align*} }$

のようになります。　 ${ \varepsilon_0 }$ は ${ a }$ に含めずに、Green 関数から静電ポテンシャルを計算する際に入れる慣習です。　このとき

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} D\left[i{\bf k}\right] & = (ik_1)^2 + (ik_2)^2 + (ik_3)^2 \\ &= -{\bf k}^2 \end{align*} }$

となるので、この Poisson 方程式の Green 関数 ${ G(\textbf{x}) }$ は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} G({\bf x}) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int_{{\bf R}^3} \frac{e^{i{\bf k}\cdot {\bf x}}}{{\bf k}^2}d^3{\bf k} \end{align*} }$

で与えられます。　この積分はさらに計算する必要がありますが、それは後日に。　この Green 関数を用いて、電荷分布 ${ \rho(\textbf{x}) }$ が与えられたときの静電ポテンシャル ${ \phi(\textbf{x}) }$ は

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \phi({\bf x}) = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_{{\bf R}^3} G({\bf x} - {\bf x}')\rho({\bf x}')d^3{\bf x} \end{align*} }$

と計算されます。