読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

力が働いてないときの運動

運動方程式を解こう! ニュートン力学 1次元 1粒子系 古典力学

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は力が働いていない場合の質点の運動方程式を解いてみます。 慣性の法則からすると、これは静止したままか等速直線運動をするはずですね。 力が働いてないときのニュートン運動方程式

  { \displaystyle\begin{align*}
    m\frac{d^2x}{dt^2} &= 0 & \cdots (*)
\end{align*}}

となります。

運動方程式を解く

(*) 式の両辺を  { m } で割って

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{d^2x}{dt^2} = 0
\end{align*}}

積分実行
両辺を  { t }積分すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{dx}{dt} = C_1
\end{align*}}

ただし  { C_1 }積分定数。 さらにもう一度積分すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) = C_1t + C_2
\end{align*}}

 { C_2 }積分定数です。

初期条件を課す
初期条件として

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(0) &= x_0, & \frac{dx}{dt}(0) &= v_0
\end{align*}}

 { x_0,\,v_0 } は定数)を課すと

  { \displaystyle\begin{align*}
    C_2 = x_0, \qquad C_1 = v_0
\end{align*}}

となるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) = x_0 + v_0 t
\end{align*}}

となります。 ちなみに位置  { x(t) } の時間微分である速度  { v(t) } も簡単に計算できて

  { \displaystyle\begin{align*}
    v(t) = v_0
\end{align*}}

が得られます。  { v(t) } の式から慣性の法則

力を受けていない(もしくは合力がつり合っている)物体は静止し続けるか等速直線運動をする

ということが分かります。 今は1次元なので直線は当たり前ですが。

参考文献