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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

一定の力が働いているときの運動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は一定の力が働いている質点の運動方程式を解きます。 これは等加速度運動で、高校物理でも出てきますね。 一定の力が働いているときのニュートン運動方程式

  { \displaystyle\begin{align*}
    m\frac{d^2x}{dt^2} &= F_0 & \cdots (*)
\end{align*}}

となります。 ただし { F_0 } は定数。 例えば、地表近くの重力は { F_0 = -mg } (鉛直上向きを座標の正とした場合)となります。

運動方程式を解く

運動方程式 (*) の両辺を { m } で割って { a = \frac{F_0}{m} } とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{d^2x}{dt^2} = a
\end{align*}}

となります。

積分実行
両辺を { t }積分すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{dx}{dt} = at + C_1
\end{align*}}

{ C_1 }積分定数です。 さらに { t }積分すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) = \frac{1}{2}at^2 + C_1t + C_2
\end{align*}}

{ C_2 }積分定数

初期条件を課す
初期条件として

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(0) &= x_0, & \frac{dx}{dt}(0) &= v_0
\end{align*}}

を課すと

  { \displaystyle\begin{align*}
    C_2 &= x_0, & C_1 &= v_0
\end{align*}}

となるので、結局

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2
\end{align*}}

となります。 位置 { x(t) } の時間微分で与えられる速度 { v(t) }

  { \displaystyle\begin{align*}
    v(t) = v_0 + at
\end{align*}}

{ a = \frac{F_0}{m} } でした。

力学的エネルギーの保存

時間に依らず一定の力は、以下のポテンシャル

  { \displaystyle\begin{align*}
    U(x) = - F_0 x
\end{align*}}

を持つ保存力です。 よって、以下で定義される力学的エネルギー { h(x,\,v) } は時間に依らず一定になります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    h(x,\,v) = \frac{1}{2}mv^2 - F_0 x
\end{align*}}

参考文献