読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

調和振動子の強制振動

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。 この系のニュートン運動方程式

  { \displaystyle\begin{align*}
    m\frac{d^2x}{dt^2} &= -kx + F_0 \,e^{i\omega t} & \cdots (*)
\end{align*}}

となります。 外力は複素数になってますが、運動方程式が線形微分方程式なので必要なら後で実部をとれば OK です。

運動方程式を解く

運動方程式の整理
まずは運動方程式 (*) を整理しましょう。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{d^2x}{dt^2} &= -\omega_0^2\, x + f\,e^{i\omega t} & \cdots(1)
\end{align*}}

ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
    \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}}, & f = \frac{F_0}{m}
\end{align*}}

変数変換
次は、適当な変数変換を行って解きやすい微分方程式に変換しましょう。 { B } を定数として

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) = \xi(t) + B\,e^{i\omega t}
\end{align*}}

によって { \xi(t) } を導入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2\xi}{dt^2} - B\omega^2\,e^{i\omega t}
\end{align*}}

より、{ x(t) }微分方程式 (1) は以下のような { \xi(t) }微分方程式に変換できます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{d^2\xi}{dt^2} - B\omega^2\,e^{i\omega t}
    &= -\omega_0^2\left(\xi + B\,e^{i\omega t}\right) + f\,e^{i\omega t} \\
  \frac{d^2\xi}{dt^2}
    &= -\omega_0^2 \xi + \left\{B(\omega^2 - \omega_0^2) + f \right\}\,e^{i\omega t}
\end{align*}}

よって { \omega \ne \omega_0 } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    B = \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}
\end{align*}}

とおけば、{ \xi(t) } についての微分方程式

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{d^2\xi}{dt^2} &= -\omega_0^2 \xi & \cdots (2)
\end{align*}}

となります。

積分実行
{ \xi(t) } についての微分方程式 (2) は通常の調和振動子に対する微分方程式なので、以前の結果を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \xi(t) = C_1\,e^{i\omega_0 t} + C_2\,e^{-i\omega_0 t}
\end{align*}}

ただし、{ C_1,\,C_2 }積分定数。 よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) &= \xi(t) + \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} \\
         &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + C_1\,e^{i\omega_0 t} + C_2\,e^{-i\omega_0 t} &\cdots(3)
\end{align*}}

初期条件を課す
(3) 式に初期条件

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(0) = x_0,\quad \frac{dx}{dt}(0) = v_0
\end{align*}}

を課すと

  { \displaystyle\begin{align*}
    C_1 + C_2 &= x_0 - \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2} \\
    C_1 - C_2 &= \frac{1}{i\omega_0}\left(v_0 - \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
  x(t)
    &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + C_1\,e^{i\omega_0 t} + C_2\,e^{-i\omega_0 t} \\
    &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + (C_1 + C_2)\cos \omega_0 t + i(C_1 - C_2)\sin \omega_0 t \\
    &=  \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t}
      + \left(x_0 - \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)\cos \omega_0 t
      + \frac{1}{\omega_0}\left(v_0 - \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)\sin \omega_0 t \\
    &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}
      \left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t - \frac{i\omega}{\omega_0}\sin\omega_0 t\right)
       + x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t
\end{align*}}

第2項、第3項は外力のない調和振動子の解となってますね。 時間で微分すると { v(t) } が求まって

  { \displaystyle\begin{align*}
    v(t)
        &= \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t
            - \frac{i\omega_0}{\omega}\sin \omega_0 t\right) + v_0\cos \omega_0 t - x_0\omega_0\sin\omega_0 t
\end{align*}}

こちらも、第2項、第3項は外力のない調和振動子の解です。 まとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  x(t) &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t
      - \frac{i\omega}{\omega_0}\sin\omega_0 t\right) + x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\
  v(t) &=  \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t
      - \frac{i\omega_0}{\omega}\sin \omega_0 t\right) + v_0\cos \omega_0 t - x_0\omega_0\sin\omega_0 t
\end{align*}}

となります。 ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
    \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}}, &
    f &= \frac{F_0}{m}
\end{align*}}

です。

共鳴

{ \omega \longrightarrow \omega_0 } の極限では

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) &= \frac{f}{2i\omega_0}\left(t\,e^{i\omega_0 t} - \frac{\sin\omega_0 t}{\omega_0}\right)
        + x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\
    v(t) &= \frac{f}{2}\left(t\,e^{i\omega_0 t} + \frac{\sin\omega_0 t}{\omega_0}\right)
        + v_0\cos \omega_0 t - x_0\omega_0\sin\omega_0 t
\end{align*}}

を得ます。

参考文献

ニュートン力学からはじめる アインシュタインの相対性理論 (KS物理専門書)

ニュートン力学からはじめる アインシュタインの相対性理論 (KS物理専門書)