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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

減衰振動

運動方程式を解こう! ニュートン力学 1次元 1粒子系 古典力学

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は速度に比例する摩擦力が働く調和振動子を考えます。 流体中などでStokes の抵抗力が働いている場合などがこれにあたります。 この系のニュートン運動方程式

  { \displaystyle\begin{align*}
    m\frac{d^2x}{dt^2} &= -kx - \alpha\frac{dx}{dt} &  \cdots (*)
\end{align*}}

となります。 ただし

  • { m } : 質量
  • { k } : ばね定数
  • { \alpha } : 摩擦力の比例定数

です。 これらはすべて正の定数です。

運動方程式を解く

運動方程式の整理
まずは運動方程式 (*) を整理しましょう。 以降、時間微分は文字の上にドット (・) を付けて表します:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \ddot{x} + \frac{\alpha}{m} \dot{x} + \frac{k}{m}x = 0
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    2\lambda = \frac{\alpha}{m},\qquad\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{align*}}

とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \ddot{x} + 2 \lambda \dot{x} + \omega_0^2 x &= 0 & \cdots(1)
\end{align*}}

を得ます。 { \lambda } の前の係数 2 は、後の便利のために入れてます。

一般解を求める
(1) 式の解として

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) = e^{\mu t}
\end{align*}}

の形のものを求めましょう。 一般解はこの形の解の線型結合で表されます。 これを (1) 式に代入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\left(\mu^2 + 2\lambda\mu + \omega_0^2\right)x(t) = 0 \\[2mm]
    \therefore \;& \mu = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}
\end{align*}}

式を簡単にするために

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mu_0 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}
\end{align*}}

とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mu = -\lambda \pm \mu_0
\end{align*}}

これを踏まえて、一般解は以下のように表されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) &= C_1\,e^{(-\lambda+\mu_0) t } + C_2\,e^{(-\lambda-\mu_0) t } & \cdots (2)
\end{align*}}

初期条件を課す
(2) 式に以下の初期条件を課しましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(0) &= x_0 & \dot{x}(0) &= v_0
\end{align*}}

{ x(0) = x_0 } より

  { \displaystyle\begin{align*}
    C_1 + C_2 &= x_0 & \cdots (3)
\end{align*}}

また

  { \displaystyle\begin{align*}
    \dot{x}(t) = C_1(-\lambda + \mu_0)\,e^{(-\lambda+\mu_0)t} + C_2(-\lambda - \mu_0)\,e^{(-\lambda-\mu_0)t}
\end{align*}}

なので、{ v(0) = v_0 } より

  { \displaystyle\begin{align*}
    & C_1(-\lambda + \mu_0) + C_2(-\lambda - \mu_0) = v_0 \\[2mm]
    \therefore \;& -\lambda(C_1 + C_2) + \mu_0(C_1 - C_2) = v_0
\end{align*}}

よって { \mu_0 \ne 0 } の場合、(3) 式も使って

  { \displaystyle\begin{align*}
    C_1 - C_2 &= \frac{\lambda x_0 + v_0}{\mu_0} &\cdots (4)
\end{align*}}

を得ます。 よって (3), (4) より以下を得ます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  x(t)
    &= C_1\,e^{(-\lambda+\mu_0) t } + C_2\,e^{(-\lambda-\mu_0) t } \\
    &= e^{-\lambda t} \left(C_1\,e^{\mu_0 t} + C_2\,e^{-\mu_0 t}\right) \\
    &= e^{-\lambda t} \Big\{C_1\left(\cosh \mu_0 t + \sinh \mu_0 t\right)
      + C_2\left(\cosh \mu_0 t - \sinh \mu_0 t\right)\Big\} \\
    & = e^{-\lambda t} \Big\{(C_1 + C_2)\cosh \mu_0 t + (C_1 - C_2)\sinh \mu_0 t \Big\} \\
    & = e^{-\lambda t} \left(x_0\cosh \mu_0 t + \frac{\lambda x_0 + v_0}{\mu_0} \sinh \mu_0 t \right) \\[4mm]
  v(t)
    &= e^{-\lambda t} \left(v_0 \cosh\mu_0 x - \frac{\omega_0^2 + \lambda v_0}{\mu_0}\sinh\mu_0 t\right)
\end{align*}}

{ \mu_0 = 0 } の場合は、下記 (ii) の臨界制動の箇所を参照。

運動の分類

上記の結果で表される運動は、{ \mu_0 } が (i) 実数、(ii) 0 (iii) 純虚数の3つの場合で定性的に変わってきます。 ちなみに

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mu_0 = \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}
\end{align*}}

でしたね。

(i) { \lambda > \omega_0 } のとき : 強制制動(非周期的減衰)
このとき { \mu_0 } は実数となります。 このとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) &= e^{-\lambda t} \left(x_0\cosh \mu_0 t + \frac{\lambda x_0 + v_0}{\mu_0} \sinh \mu_0 t \right) \\[4mm]
    v(t) &= e^{-\lambda t} \left(v_0 \cosh\mu_0 x - \frac{\omega_0^2 + \lambda v_0}{\mu_0}\sinh\mu_0 t\right)
\end{align*}}

となります。 { \mu_0 } の定義より { \lambda > \mu } となるので、{ x(t),\,v(t) } ともに時間に関して指数関数的に小さくなっていきます。

(ii) { \lambda = \omega_0 } のとき : 臨界制動(非周期的減衰)
このとき { \mu_0 = 0 } となります。 強制振動の表式で { \mu_0 \rightarrow 0 } の極限をとると

  { \displaystyle\begin{align*}
    x(t) &= \Big\{x_0 + \left(\lambda x_0 + v_0\right)t \Big\}e^{-\lambda t} \\[4mm]
    v(t) &= \Big\{v_0 - \lambda\left(\lambda x_0 + v_0\right)t \Big\}e^{-\lambda t}
\end{align*}}

この場合、単純な指数関数的減衰ではありませんが、振幅・速度ともに単調な減少をします。

(iii) { \lambda < \omega_0 } のとき : 減衰振動
このとき { \mu_0 } は純虚数となります。 表式を整理するため

  { \displaystyle\begin{align*}
    \gamma_0 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}
\end{align*}}

とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mu_0 &= i \gamma_0 & (i = \sqrt{-1})
\end{align*}}

となります。 この { \gamma_0 } を用いて { x_0,\,v_0 } を書き換えると

  { \displaystyle\begin{align*}
  x(t)
    &= e^{-\lambda t} \left(x_0\cos \gamma_0 t
      + \frac{\lambda x_0 + v_0}{\gamma_0}\sin \gamma_0 t \right) \\[4mm]
  v(t)
    &= e^{-\lambda t} \left(v_0\cos \gamma_0 t
      - \frac{\omega_0^2 x_0 + \lambda v_0}{\gamma_0}\sin \gamma_0 t \right)
\end{align*}}

これは指数関数的に減少する因子と、周期的に振動する因子の積となっています。 したがって、これは振幅・速度ともに振動しながら減衰していく運動となります。

参考文献