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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ベルヌーイ数に関連する冪級数展開

初等関数 数論

前回見たベルヌーイ数ですが、 正接関数 { \tan x } をはじめいくつかの初等関数*1の冪級数展開(テイラー展開)の係数として登場します。 今回はそれらの冪級数展開を導きたいと思います(やはり[wikipeida:ベルヌーイ数]に載ってる公式の導出をやってるだけですが)。 収束半径は気にしてません。

参考

定義

ベルヌーイ数 { B_n } は以下の冪級数展開の係数として定義されてるのでした:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \frac{x}{e^x - 1} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n & \cdots (*)
\end{align*}
}

左辺の関数が(難しくはないけど)何なのかがよく分からないのがベルヌーイ数の謎なところ。

双曲線関数の余接 { \coth x }

双曲線関数の余接 { \coth x } の定義は以下の通り(「もしも高校で双曲線関数をやったなら (1) : 双曲線関数の定義と相互関係」参照):

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}
\end{align*}
}

これをもう少し変形して (*) 式を用いると以下の冪級数展開が得られます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \coth x
        &= \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1} = 1 + \frac{2}{e^{2x} - 1}
          = 1 + \frac{1}{x}\frac{2x}{e^{2x} - 1} \\ &= 1 + \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}\left(2x\right)^n \\
        &= 1 + \frac{1}{x}\left(B_0 + 2B_1x + \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n B_n}{n!}x^n\right)
\end{align*}
}

ここで {B_0 = 1,\,B_1 = -\frac{1}{2},\,B_{2n-1} = 0 } を用いると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \coth x
        &= \frac{1}{x} + \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n B_n}{n!}x^n \\
        &= \frac{1}{x} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1} & \left(k = \frac{n}{2}\right)
\end{align*}
}

初項は第2項の { k= 0 } の場合に含めることもできますが、{ x = 0 } で特異になる項として抜き出してます。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \coth x = \frac{1}{x} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}
\end{align*}
}

三角関数の余接 { \cot x }

次は三角関数の余接 { \cot x }。 三角関数双曲線関数で引数を純虚数にすれば簡単な関係が導ける(「もしも高校で双曲線関数をやったなら (2) : 負の引数、純虚数の引数」参照)ので、上記の coth x の冪級数展開から難しくなく導けます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
     \cot x
        &= i\coth (ix) \\
        &= i\left(\frac{1}{ix} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}(ix)^{2k-1}\right) \\
        &= \frac{1}{x} + \sum_{k = 1}^\infty (-)^k\frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}
\end{align*}
}

よって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \cot x = \frac{1}{x} + \sum_{k = 1}^\infty (-)^k\frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}
\end{align*}
}

{ \coth x } の展開の各項に符号因子が付いただけになりました。

三角関数正接 tan x

では最後にベルヌーイ数がその展開係数に出てくるよ!と言われる { \tan x} の展開。 まずは { \tan x }{ \cot x } の間の関係式

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan x = \cot x - 2\cot 2x
\end{align*}
}

を証明しましょう。 まずは正弦・余弦の倍角の公式を駆使して{ \cot 2x } を以下のように変形します:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \cot 2x
        &= \frac{\cos 2x}{\sin2x} \\
        &= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2\sin x \cos x} \\
        &= \frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
        &= \tfrac{1}{2}\left(\cot x - \tan x\right)
\end{align*}
}

これを { \tan x } について解いて

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan x = \cot x - 2\cot 2x
\end{align*}
}

を得ます。 これで { \cot x } の冪級数展開を使って { \tan x } を展開することができます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan x
        &= \cot x - 2 \cot 2x \\
        &= \left(\frac{1}{x} + \sum_{k = 1}^\infty (-)^k\frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}\right)
            - 2 \left(\frac{1}{2x} + \sum_{k = 1}^\infty (-)^k\frac{4^k B_{2k}}{(2k)!}(2x)^{2k-1}\right) \\
        &= \sum_{k = 1}^\infty (-)^k\frac{4^k(1 - 4^k) B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}
\end{align*}
}

よって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan x = \sum_{k = 1}^\infty (-)^k\frac{4^k (1 - 4^k) B_{2k}}{(2k)!}x^{2k-1}
\end{align*}
}

を得ます。 へぇ~

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*1:多項式と指数関数からなる関数