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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

漸化式の解法あれこれ : a_{n+1} = p a_n + q

高校数学 数列

今回は以下の形の初項、漸化式で定義される数列の一般項を求めます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        a_1 \quad= a \\
        a_{n+1} = p a_n + q
    \end{cases}
\end{align*}
}

{ p,\,q } は定数とします。 漸化式の問題の基本中の基本ですね。

{ p \ne  1 } の場合

まずは { p \ne 1 } の場合。 このときは特性方程式の解 { \alpha } を使って等比数列を構成し、一般項を求めます。

特性方程式
漸化式で { a_n,\,a_{n+1} } をともに { \alpha } とおくと特性方程式が得られます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \alpha = p \alpha + q
\end{align*}
}

{ p \ne 1 } のとき、これは簡単に解けて

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \alpha = - \frac{q}{p-1}
\end{align*}
}

を得ます。

数列 { b_n }
漸化式と特性方程式より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_{n+1} &= p a_n + q \\
    \alpha &= p \alpha\,\, + q
\end{align*}
}

辺々をそれぞれ引くと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_{n+1} - \alpha = p (a_n - \alpha)
\end{align*}
}

ここで

  { \displaystyle
\begin{align*}
    b_n = a_n - \alpha
\end{align*}
}

とおくと、数列 { b_n } の初項と漸化式は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        b_1 \quad= a - \alpha \\
        b_{n+1} = pb_n
\end{cases}
\end{align*}
}

よって { b_n }等比数列であることが分かり、その一般項は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    b_n = (a - \alpha) p^{n-1}
\end{align*}
}

と求まります。

{ a_n } の一般項
{ a_n } の一般項は { b_n } の一般項から簡単に求まって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n
        &= b_n + \alpha \\
        &= (a - \alpha) p^{n-1} + \alpha \\
        &= \left(a + \frac{q}{p-1}\right)p^{n-1} - \frac{q}{p-1}
\end{align*}
}

よって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n = \left(a + \frac{q}{p-1}\right)p^{n-1} - \frac{q}{p-1}
\end{align*}
}

{ p = 1 } のとき

{ p = 1 } のとき、初項と漸化式は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \begin{cases}
        a_1 \quad = a \\
        a_{n+1} = a_n + q
    \end{cases}
\end{align*}
}

となりますが、これは { a_n } が初項 { a }、公差 { q } の等差数列であることを示しています。 よって一般項は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n = a + q(n-1)
\end{align*}
}

となります。

結果

結果をまとめると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n
        = \begin{cases}
            \left(a + \dfrac{q}{p-1}\right)p^{n-1} - \dfrac{q}{p-1} & (p\ne 1) \\[4mm]
             a + q(n - 1) & (p = 1)
        \end{cases}
\end{align*}
}

ちなみに初項が第0項で与えられている場合({ a_0 = a })は以下のようになります:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n
        = \begin{cases} \left(a + \dfrac{q}{p-1}\right)p^n - \dfrac{q}{p-1} & (p\ne 1) \\[4mm]
            a + qn & (p = 1)
       \end{cases}
\end{align*}
}

単に { n }{ n+1 } で置き換えただけですけどね。

補足

{ p \ne 1 } の表式で { p \rightarrow 1 } の極限をとってみましょう。 まず、{ a_n } を以下のように変形します:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    a_n = ap^{n-1} + \frac{p^{n-1}-1}{p-1}q
\end{align*}
}

ここで

  { \displaystyle
\begin{align*}
    f(x) = x^{n-1}
\end{align*}
}

とおくと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \frac{p^{n-1}-1}{p-1} = \frac{f(p) - f(1)}{p-1}
\end{align*}
}

より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \lim_{p\rightarrow 1}\frac{p^{n-1}-1}{p-1} = f'(1) = n-1
\end{align*}
}

なので { p \rightarrow 1 } の極限で { a_n }

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \lim_{p\rightarrow 1}a_n = a + (n-1)q
\end{align*}
}

となり、{ p = 1 } の場合の表式と一致します。

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