倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (4) : 倍角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は倍角の公式。 倍角の公式の導出は、前回導いた加法定理で { y = x } とすればいいだけです:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \sin 2x
    &= \sin (x + x) \\
    &= \sin x \cos x + \cos x \sin x \\
    &= 2\sin x \cos x \\[4mm]
  \cos 2x
    &= \cos^2 x - \sin^2 x \\
    &= 1 - 2\sin^2 x & (\cos^2 x = 1 - \sin^2 x) \\
    &= 2\cos^2 x - 1 & (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x) \\[4mm]
  \tan 2x
    &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2x}
\end{align*}}

【発展】その他の三角関数
高校で出てこない3つの三角関数についても同様に倍角の公式が導けます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot 2x &= \frac{ \cot^2 x - 1}{2\cot x} \\[2mm]
  \sec 2x &= \frac{\sec^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{1-2\sin^2x} = \frac{1}{2\cos^2x - 1} \\[2mm]
  \csc2x &= \frac{\csc^2x}{2\cot x}
    = \frac{1}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2}\sec x \csc x
\end{align*}}

 { \sec x,\csc x } は無理せず(?) { \sin x,\,\cos x } で表した方が分かりやすいかも知れませんね。

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin 2x &= 2\sin x \cos x \\[2mm]
    \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \\
                 &= 2\cos^2 x - 1 \\[2mm]
    \tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \\[4mm]
  \cot 2x &= \frac{ \cot^2 x - 1}{2\cot x} \\[2mm]
  \sec 2x &= \frac{\sec^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{1-2\sin^2x} = \frac{1}{2\cos^2x - 1} \\[2mm]
  \csc2x &= \frac{\csc^2x}{2\cot x}
    = \frac{1}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2}\sec x \csc x
\end{align*}}

【追記】

  • 高校では出てこない3つの三角関数についての公式を追記しました。

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