倭算数理研究所

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三角関数の公式を復習する (5) : 半角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の半角の公式を導きます。 三角関数で半角の公式を導くには、余弦の倍角の公式を使います。

正弦
まずは正弦の半角の公式を導きましょう。 余弦の倍角の公式で { \sin x } を使った表式

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x
\end{align*}}

{ \sin^2 x } について解いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin^2 x &= \frac{1 - \cos 2x}{2}
\end{align*}}

{ x \rightarrow \frac{x}{2} } の置き換えをすれば

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{2}
\end{align*}}

のように、正弦の半角の公式が得られます。 角度の範囲が分からないと { \sin \frac{x}{2} } の符号が分からないので、これ以上は解けません。

余弦
余弦の半角の公式も正弦の場合と同じように導けます。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos 2x = 2\cos^2 x -1
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos x}{2}
\end{align*}}

となります。

正接
正接の半角の公式は、正弦、余弦の半角の公式の公式から簡単に導けます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tan^2 \frac{x}{2} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}
\end{align*}}

【発展】その他の三角関数
高校で出てこない三角関数についても同様に半角の公式が導けます。 すべて  { \cos 2x } で表されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot^2\frac{x}{2} &= \frac{1}{\tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} \\[2mm]
  \sec^2\frac{x}{2} &= \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{2}{1 + \cos x} \\[2mm]
  \csc^2\frac{x}{2} &= \frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}} = \frac{2}{1 - \cos x} \\[2mm]
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{2} \\
    \cos^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos x}{2} \\
    \tan^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \\[4mm]
  \cot^2\frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} \\[2mm]
  \sec^2\frac{x}{2} &= \frac{2}{1 + \cos x} \\[2mm]
  \csc^2\frac{x}{2} &= \frac{2}{1 - \cos x}
\end{align*}}

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