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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (5) : 半角の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の半角の公式を導きます。 三角関数で半角の公式を導くには、余弦の倍角の公式を使います。 まずは正弦の半角の公式を導きましょう。 余弦の倍角の公式で { \sin x } を使った表式

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x
\end{align*}}

{ \sin^2 x } について解いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin^2 x &= \frac{1 - \cos 2x}{2}
\end{align*}}

{ x \rightarrow \frac{x}{2} } の置き換えをすれば

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{2}
\end{align*}}

のように、正弦の半角の公式が得られます。 角度の範囲が分からないと { \sin \frac{x}{2} } の符号が分からないので、これ以上は解けません。 上記と同様にして余弦の半角の公式

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos 2x = 2\cos^2 x -1
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos x}{2}
\end{align*}}

となります。 正接の半角の公式は、正弦、余弦の半角の公式より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tan^2 \frac{x}{2} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}
\end{align*}}

以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{2} \\
    \cos^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 + \cos x}{2} \\
    \tan^2 \frac{x}{2} &= \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}
\end{align*}}

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