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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (8) : 三角関数の積和の公式

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は積和の公式。 積和の公式とは、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和に変換する公式です。 これもやはり三角関数の加法定理から導きます。 三角関数の加法定理は以下のようになってました:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin(x + y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cdots(1) \\
    \sin(x - y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y & \cdots(2) \\[4mm]
    \cos(x + y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y & \cdots(3)\\
    \cos(x - y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y & \cdots(4)
\end{align*}}

積和の公式は、これらの和差から導けます。 (1)+(2) より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x \cos y = \frac{1}{2}\big\{\sin(x+y) + \sin(x-y)\big\}
\end{align*}}

(1)-(2) より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos x \sin y = \frac{1}{2}\big\{\sin(x+y) - \sin(x-y)\big\}
\end{align*}}

(3)+(4) より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cos x \cos y = \frac{1}{2}\big\{\cos(x+y) + \cos(x-y)\big\}
\end{align*}}

(3)-(4) より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x \sin y = -\frac{1}{2}\big\{\cos(x+y) - \cos(x-y)\big\}
\end{align*}}

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x \cos y &= \frac{1}{2}\big\{\sin(x+y) + \sin(x-y)\big\} \\
    \cos x \sin y &= \frac{1}{2}\big\{\sin(x+y) - \sin(x-y)\big\} \\
    \cos x \cos y &= \frac{1}{2}\big\{\cos(x+y) + \cos(x-y)\big\} \\
    \sin x \sin y &= -\frac{1}{2}\big\{\cos(x+y) - \cos(x-y)\big\}
\end{align*}}

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