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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (9) : 三角関数の和積の公式

初等関数 高校数学

三角関数の公式を復習するシリーズ(目次)。 今回は三角関数の和積の公式。 和積の公式は前回の積和の公式とは逆に、2つの三角関数の積を2つの三角関数の和で表す公式です。 公式の導き方は、単に積和の公式を逆に解くだけです。 積和の公式は4つありましたが、そのうちの1つについてだけ見ていきます。

公式の証明

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin x \cos y = \frac{1}{2}\big\{\sin(x+y) + \sin(x-y)\big\}
\end{align*}}

に対して

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        \alpha = x + y \\
        \beta= x - y
    \end{cases}
\end{align*}}

とおきます。 これを逆に解くと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x = \dfrac{\alpha + \beta}{2} \\[4mm]
        y = \dfrac{\alpha - \beta}{2}
    \end{cases}
\end{align*}}

となるので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} &= \frac{1}{2}\big\{\sin \alpha + \sin \beta \big\} \\
    \therefore \; \sin\alpha + \sin\beta &= 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}}

他の積和の公式からも同様に和積の公式が導けます。

公式まとめ

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \sin\alpha + \sin\beta &= 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} \\
    \sin\alpha - \sin\beta &= 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2} \\
    \cos\alpha + \cos\beta &= 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} \\
    \cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}}

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