倭算数理研究所

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正接の加法定理・再考

もう少し三角関数の公式シリーズ(目次)。 今回は、以前導いた正接 ({ \tan x }) の加法定理とは別の表式を導いてみます。 あんまり高校ではやりませんが。 導き方は、分母分子に { \cos(x-y) } を掛けて積和の公式を使います:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tan (x + y)
    &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} \\[2mm]
    &= \frac{\sin(x + y)\cos(x - y)}{\cos(x + y)\cos(x - y)} \\[2mm]
    &= \frac{\frac{1}{2}\left(\sin 2x + \sin 2y \right)}{\frac{1}{2}\left(\cos 2x + \cos 2y \right)} \\[2mm]
    &= \frac{\sin 2x + \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y}
\end{align*}}

またこの式で { y \rightarrow -y } の置き換えをして、負の引数の公式を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tan (x - y) = \frac{\sin 2x - \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y }
\end{align*}}

となります。

上記の加法定理で、分母分子に  { \sin(x-y) } を掛けて積和の公式を使うと

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tan (x + y)
    &= \frac{\sin(x + y)\sin(x - y)}{\cos(x + y)\sin(x - y)} \\[2mm]
    &= -\frac{\cos 2x - \cos 2y}{\sin 2x - \sin 2y} \\[4mm]
  \tan (x-y)
    &= -\frac{\cos 2x - \cos 2y}{\sin 2x + \sin 2y}
\end{align*}}

ただし、こちらの公式は(後日みる)複素数の引数を持つ場合に、実部と虚部を分離できないのであまり使われないかと思います。

【発展】余接の加法定理
同様の方法で余接の加法定理も導けます。 こちらはまず分母・分子に  { \sin(x-y) } を掛けて導く場合をやりましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot (x + y)
    &= \frac{\cos(x + y)\sin(x - y)}{\sin(x + y)\sin(x - y)} \\[2mm]
    &= -\frac{\sin 2x - \sin 2y}{\cos 2x - \cos 2y} \\[4mm]
  \cot (x-y)
    &= -\frac{\sin 2x + \sin 2y}{\cos 2x - \cos 2y}
\end{align*}}

複素数の引数の場合に実部と虚部を分離するのはこちらの公式になります。  { \cos(x-y) } を掛けて導く方は

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cot (x + y) &= \frac{\cos 2x + \cos 2y}{\sin 2x + \sin 2y} \\[2mm]
  \cot (x - y) &= \frac{\cos 2x + \cos 2y }{\sin 2x - \sin 2y}
\end{align*}}

まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
  \tan (x + y)
    &= \frac{\sin 2x + \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y }
    = -\frac{\cos 2x - \cos 2y}{\sin 2x - \sin 2y} \\[2mm]
  \tan (x - y)
    &= \frac{\sin 2x - \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y }
    = -\frac{\cos 2x - \cos 2y}{\sin 2x + \sin 2y} \\[4mm]
  \cot (x + y)
    &= -\frac{\sin 2x - \sin 2y}{\cos 2x - \cos 2y}
    = \frac{\cos 2x + \cos 2y}{\sin 2x + \sin 2y} \\[2mm]
  \cot (x - y)
    &= -\frac{\sin 2x + \sin 2y}{\cos 2x - \cos 2y}
    = \frac{\cos 2x + \cos 2y }{\sin 2x - \sin 2y}
\end{align*}}

【追記】

  • 正接のもう1つの公式と、余接の公式を追記しました。

特殊函数 (岩波 数学公式 3)

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