読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (10) : 正接の加法定理

今回は、以前導いた正接 ({ \tan x }) の加法定理とは別の表式を導いてみます(目次)。 あんまり高校ではやりませんかね。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan (x + y)
        &= \frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} \\
        &= \frac{\sin(x + y)\cos(x - y)}{\cos(x + y)\cos(x - y)} \\
        &= \frac{\frac{1}{2}\left(\sin 2x + \sin 2y \right)}{\frac{1}{2}\left(\cos 2x + \cos 2y \right)} \\
        &= \frac{\sin 2x + \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y}
\end{align*}
}

分母分子に { \cos(x-y) } を掛けて積和の公式を使ってます。 またこの式で { y \rightarrow -y } の置き換えをして、負の引数の公式を用いると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan (x - y) = \frac{\sin 2x - \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y }
\end{align*}
}

となります。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \tan (x + y) &= \frac{\sin 2x + \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y } \\[2mm]
    \tan (x - y) &= \frac{\sin 2x - \sin 2y}{\cos 2x + \cos 2y }
\end{align*}
}

特殊函数 (岩波 数学公式 3)

特殊函数 (岩波 数学公式 3)