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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

三角関数の公式を復習する (12) : 三角関数の積分

初等関数 高校数学

今回は三角関数積分目次)。

正弦

  { \displaystyle
\begin{align*}
\int\sin x \,dx &= \int \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}dx \\
&= \frac{\frac{1}{i}e^{ix} + \frac{1}{i}e^{-ix}}{2i} \\
&= -\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
&= -\cos x
\end{align*}
}

微分の逆と思えば結果が { -\cos x } になるのはすぐ分かりますが、一応、定義から計算してみました。

余弦

  { \displaystyle
\begin{align*}
\int\cos x \,dx
 &= \int \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}dx \\
 &= \frac{\frac{1}{i}e^{ix} - \frac{1}{i}e^{-ix}}{2} \\
 &= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \\
 &= \sin x
\end{align*}
}

正弦の積分の場合と同様、結果が { \sin x } になるのは微分の場合から分かってますけど。

正接

  { \displaystyle
\begin{align*}
\int \tan x \,dx
&= \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\
&= -\int \frac{dt}{t}  & \left(t = \cos x, \quad dt = -\sin x dx\right) \\
&= -\log |t| \\
&= -\log|\cos x|
\end{align*}
}

正接積分は置換積分の簡単な演習問題。

余接

  { \displaystyle
\begin{align*}
\int \cot x \,dx
&= \int \frac{\cos x}{\sin x} dx \\
&= \int \frac{dt}{t} & \left(t = \sin x, \quad dt = \cos x dx\right) \\
&= \log |t| \\
&= \log|\sin x|
\end{align*}
}

正接の場合とほとんど同じような計算。

まとめると

  { \displaystyle
\begin{align*}
\int\sin x \,dx &= -\cos x \\
\int\cos x \;dx &= \sin x \\
\int\tan x \;dx &= -\log|\cos x| \\
 \int\cot x \;dx &= \log|\sin x|
\end{align*}
}

積分定数は省略してます。

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