倭算数理研究所

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もしも高校で双曲線関数をやったなら (6) : 双曲線関数の三倍角の公式

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数三倍角の公式を見ていきます。 双曲線関数の三倍角の公式も三角関数の場合と導き方は同様です。

正弦 { \sinh 3x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh 3x &= \sinh(2x + x) \\
        &= \underline{\sinh 2x} \cosh x + \underline{\cosh 2x} \sinh x \\
        &= 2\sinh x \underline{\cosh^2 x} + (1 + 2\sinh^2 x)\sinh x \\
        &= 2\sinh x (1 + \sinh^2 x) + (1 + 2\sinh^2 x)\sinh x \\
        &= 2\sinh x + 2\sinh^3 x + \sinh x + 2\sinh^3 x \\
        &= 4\sinh^3 x + 3\sinh x
\end{align*}}

余弦 { \cosh 3x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \cosh 3x &= \cosh(2x + x) \\
        &= \underline{\cosh 2x} \cosh x + \underline{\sinh 2x} \sinh x \\
        &= (2\cosh^2 x - 1)\cosh x + 2\underline{\sinh^2 x}\cosh x \\
        &= (2\cosh^2 x - 1)\cosh x + 2(\cosh^2 x - 1)\cosh x \\
        &= 2\cosh^3 x - \cosh x + 2\cosh^3 x - 2\cosh x \\
        &= 4\cosh^3 x - 3\cosh x
\end{align*}}

正接 { \tanh 3x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tanh 3x &= \tanh (2x + x) \\
        &= \frac{\underline{\tanh 2x} + \tanh x}{1 + \underline{\tanh 2x} \tanh x} \\
        &= \frac{\frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x} + \tanh x}{1 + \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}\tanh x} \\
        &= \frac{2\tanh x + \tanh x(1 + \tanh^2 x)}{(1+\tanh^2 x) + 2\tanh^2 x} \\
        &= \frac{3\tanh x + \tanh^3x}{1 + 3\tanh^2 x}
\end{align*}}

三角関数三倍角の公式と、純虚数の引数を使った方が簡単に導けるかも。

公式まとめ

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \sinh 3x &= 4\sinh^3 x + 3\sinh x \\
    \cosh 3x &= 4\cosh^3 x - 3\cosh x \\
    \tanh 3x &= \frac{3\tanh x + \tanh^3x}{1 + 3\tanh^2 x}
\end{align*}}

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