読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

もしも高校で双曲線関数をやったなら (9) : 双曲線関数の和積の公式

初等関数 高校数学

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 今回は双曲線関数和積の公式を見ていきます。 和積の公式は前回導いた積和の公式を逆に解いただけの公式です。 双曲線関数の場合も三角関数の場合と同様です。 積和の公式

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh x \cosh y = \frac{1}{2}\big\{\sinh(x+y) + \sinh(x-y)\big\}
\end{align*}}

に対して三角関数の場合に導入した変数 { \alpha,\,\beta } を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} &= \frac{1}{2}\big\{\sinh\alpha + \sinh\beta\big\} \\
    \therefore\,\sinh\alpha + \sinh\beta &= 2\sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}}

同様にして他の和積の公式も導けます。

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh\alpha + \sinh\beta &= 2\sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} \\
    \sinh\alpha - \sinh\beta &= 2\cosh \frac{\alpha + \beta}{2} \sinh \frac{\alpha - \beta}{2} \\
    \cosh\alpha + \cosh\beta &= 2\cosh \frac{\alpha + \beta}{2} \cosh \frac{\alpha - \beta}{2} \\
    \cosh\alpha - \cosh\beta &= 2\sinh \frac{\alpha + \beta}{2} \sinh \frac{\alpha - \beta}{2}
\end{align*}}

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ