倭算数理研究所

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もしも高校で双曲線関数をやったなら (11) : 双曲線関数の微分

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 そろそろ数学IIIの範囲に入っていきましょう。 実質的に微分を行う関数は指数関数のみです。

  { \displaystyle\begin{align*}
    (e^x)' = e^x
\end{align*}}

双曲線関数は指数関数によって以下のように定義されているのでした:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
    \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
    \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} \\[2mm]
    \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x}
\end{align*}}

この定義式を微分していきます。 虚数単位がない分、三角関数の場合より簡単になってます。

{ \sinh x }

まずは { \sinh x }微分から。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left(\sinh x\right)'
        &= \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)' \\
        &= \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \\
        &= \cosh x
\end{align*}}

三角関数の場合と同様に { \cosh x } になります。

{ \cosh x }

次は { \cosh x }微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left(\cosh x\right)'
        &= \left(\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\right)' \\
        &= \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \\
        &= \sinh x
\end{align*}}

こちらは三角関数の場合と少し異なり、負符号が付きません。 { \sinh x,\, \cosh x }微分を合わせて考えると、双曲線関数は2回微分すると元にもどることが分かります。 三角関数の場合は2回微分すると負符号が付き、4回微分すると元に戻ります。

{ \tanh x }

{ \tanh x }微分。 三角関数の場合と同様、商の微分公式を使います。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left(\tanh x\right)'
        &= \left(\frac{\sinh x}{\cosh x}\right)' \\
        &= \frac{(\sinh x)'\cosh x - \sinh x (\cosh x)'}{\cosh^2 x} \\
        &= \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} \\
        &= \frac{1}{\cosh^2 x}
\end{align*}}

双曲線関数の相互の関係に注意。 結果は三角関数の場合と同様、{ \sinh x } の2乗の逆数。

{ \coth x }

最後は { \coth x }微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left(\coth x\right)'
        &= \left(\frac{\cosh x}{\sinh x}\right)' \\
        &= \frac{(\cosh x)'\sinh x - \cosh x (\sinh x)'}{\sinh^2 x} \\
        &= \frac{\sinh^2 x - \cosh^2 x}{\sinh^2 x} \\
        &= -\frac{1}{\sinh^2 x}
\end{align*}}

こちらは負符号が付きます。

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left(\sinh x\right)' &= \cosh x \\
    \left(\cosh x\right)' &= \sinh x \\
    \left(\tanh x\right)' &= \frac{1}{\cosh^2 x} \\
    \left(\coth x\right)' &= -\frac{1}{\sinh^2x}
\end{align*}}

三角関数微分公式と異なるのは { \cosh x }微分の負符号だけですね。

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