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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

もしも高校で双曲線関数をやったなら (12) : 双曲線関数の積分

双曲線関数の公式を見ていくシリーズ(目次)。 前回微分に続き、今回は双曲線関数積分を見ていきます。 微分の場合と同様に、基本は指数関数の積分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int e^x \;dx = e^x
\end{align*}}

です。 なお、積分定数は省略します。

{ \sinh x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int\sinh x \;dx
        &= \int \frac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\
        &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
        &= \cosh x
\end{align*}}

{ \cosh x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int\cosh x \;dx
        &= \int \frac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\
        &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
        &= \sinh x
\end{align*}}

{ \tanh x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int \tanh x \;dx
        &= \int \frac{\sinh x}{\cosh x} dx \\
        &= \int \frac{dt}{t} & \left(t = \cosh x, \quad dt = \sinh x dx\right) \\
        &= \log |t| \\ &= \log|\cosh x| \\
        &= \log \cosh x
\end{align*}}

{ \cosh x } は常に正なので、最後の行では絶対値を落としてます。

{ \coth x }

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int \coth x \;dx
        &= \int \frac{\cosh x}{\sinh x} dx \\
        &= \int \frac{dt}{t} & \left(t = \sinh x, \quad dt = \cosh x dx\right) \\
        &= \log |t| \\ &= \log|\sinh x|
\end{align*}}

公式まとめ

  { \displaystyle\begin{align*}
    \int\sinh x \;dx &= \cosh x \\
    \int\cosh x \;dx &= \sinh x \\
    \int\tanh x \;dx &= \log \cosh x \\
    \int\coth x \;dx &= \log|\sinh x|
\end{align*}}

積分定数は省略してます。

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