読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

二項係数の加法公式を導く

今回は二項係数(binomial coefficient)の第1引数に対する加法公式(加法定理?)を導きます。 この公式を使って、二項係数を2つ含む級数をあれこれ計算できます。 前回の記事『二項係数の定義を負の係数に拡張する』では、第1引数が整数(以下では { a })の二項係数を次の冪級数展開の係数で定義し直したのでした:

  { \displaystyle\begin{align*}
    (1+x)^a = \sum_{p=0}^\infty \binom{a}{p}x^p
\end{align*}}

この定義より、第一引数が整数の二項係数は以下のように書けることも見ました:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{a}{r}
    = \begin{cases}
        0 & (0 \le a < r) \\[3mm]
        \dfrac{a!}{(a-r)!r!} & (0 \le r \le a) \\[6mm]
        \displaystyle (-1)^r\binom{-a+r-1}{r} = (-1)^r\frac{(-a+r-1)!}{(a-1)!r!} & (a < 0 \le r)
    \end{cases}
\end{align*}}
ちなみに、この記事では第2引数の { r }自然数(0を含む)とします。 { r } が負のときは二項係数が0と定義しても別にいいんですが、今回は使いません。

二項係数の加法公式

では二項係数の加法公式を導きましょう。 第1引数が整数の和 { a+b } の二項係数は、定義より以下の冪展開の係数で与えられます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    (1+x)^{a+b} = \sum_{p=0}^\infty \binom{a+b}{p} x^p
\end{align*}}

この左辺を指数法則で2つの因子に分けて、それぞれを冪展開すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    (1+x)^{a+b}
        &= (1+x)^a (1+x)^b \\
        &= \sum_{r=0}^\infty \binom{a}{r}x^r \sum_{s=0}^\infty \binom{b}{s}x^s \\
        &= \sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^\infty \binom{a}{r}\binom{b}{s}x^{r+s}
\end{align*}}

ここで、『指数関数の冪級数から指数法則を導く』で行った和の取り方の変換を行うと、{ p = r + s } として

  { \displaystyle\begin{align*}
    (1+x)^{a+b}
        &= \sum_{p=0}^\infty\sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r}x^p \\
        &= \sum_{p=0}^\infty\left\{\sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r}\right\}x^p
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{a+b}{p} = \sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r}
\end{align*}}

同様にして(もしくはダミー変数 { r } を適当に変数変換して)

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{a+b}{p} = \sum_{r=0}^p \binom{a}{p-r}\binom{b}{r}
\end{align*}}

も簡単に導けます。 まとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{a+b}{p}
        = \sum_{r=0}^p \binom{a}{r}\binom{b}{p-r}
        = \sum_{r=0}^p \binom{a}{p-r}\binom{b}{r}
\end{align*}}

を得ます。 まぁこれで加法公式の導出完了。 次は、これを使って『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載っている公式をいくつか導いてみましょう。

a, b がともに自然数の場合

まず、後で使いやすいように a, b が自然数の場合に上記の加法定理を書き換えておきましょう。 { a = m,\,b = n }{ m,\,n }自然数*1)のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
  \binom{m+n}{p}
    &= \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{p-r}
    = \sum_{r=0}^p \binom{m}{p-r}\binom{n}{r} & (p \le m+n)
\end{align*}}

{ m = n,\,p = n } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{2n}{n}
        &= \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{n-r}
          = \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{r} \\
        &= \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2
        = \binom{2n}{n}
        = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
\end{align*}}

{ m = n - 1,\,p = n } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{2n-1}{n}
        &= \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\binom{n-1}{n-r}
          = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\binom{n-1}{r-1}
\end{align*}}

ここで二項係数に対する公式

  { \displaystyle\begin{align*}
    r\binom{n}{r}
        = r \frac{n!}{(n-r)!r!}
        = n \frac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}
        = n\binom{n-1}{r-1}
\end{align*}}

を使うと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{2n-1}{n}
        = \frac{1}{n}\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}\cdot r\binom{n}{r}
        = \frac{1}{n}\sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}^2
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}^2
        = n\binom{2n-1}{n}
        = \frac{(2n-1)!}{\left\{(n-1)!\right\}^2}
\end{align*}}

{ p = n } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{m+n}{n}
        = \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{n-r}
        = \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{r}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{r}
        = \binom{m+n}{n}
        = \binom{m+n}{m}
\end{align*}}

{ m = n,\,p = n - m } のとき
加法公式の { (m,\,n,\,p) } の組として { (n,\,n,\,n-m) } (ただし { m \le n })を用いると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{2n}{n-m}
        = \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{n-m-r}
        = \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{m+r}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{m+r}
        &= \binom{2n}{n-m}
        = \frac{(2n)!}{(n+m)!(n-m)!} & (m \le n)
\end{align*}}

{ b = -a } の場合

{ a,\,b } がどちらも自然数の場合しか加法公式を使わないと、せっかく整数に対して公式を導いたのに勿体ないので、次は { a,\,b } の一方が負の場合を見ていきましょう。 特に { a = -b = p = n }{ n } は正の自然数)として

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{0}{n}
        &= \sum_{r=0}^n \binom{n}{n-r}\binom{-n}{r} \\
        &= \sum_{r=0}^n (-1)^r\binom{n}{r}\binom{n+r-1}{r} \\
        &= \sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n!}{(n-r)!r!}\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!r!} \\
        &= \sum_{r=0}^n (-1)^r \frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!}
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    \binom{0}{n} = 0
\end{align*}}

なので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!} = 0
\end{align*}}

また { r \ge 1 } のとき

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{n(n+r-1)!}{(n-r)!}
        &= n\cdot (n+r-1)(n+r-2)(n+r-3)\cdots (n+1)n(n-1)\cdots(n-r+1) \\
        &= n^2 \left\{(n-1)(n+1)\right\}\left\{(n-2)(n+2)\right\}\cdots\left\{(n-(r-1))(n+(r-1))\right\} \\
        &= n^2(n^2-1^2)(n^2-2^2)\cdots(n-(r-1)^2) \\
        &= \prod_{k=0}^{r-1}(n^2-k^2)
\end{align*}}

と変形できるので、上式の左辺は別の綺麗な(?)形にできて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!}
        &= 1 + \sum_{r=1}^n\frac{ (-1)^r}{(r!)^2}\prod_{k=0}^{r-1}(n^2-k^2)
        = 0
\end{align*}}

ふぅ。 { a,\,b } 両方が負の場合に使える公式とかもあるかもしれないけど、今回はこの辺で。

本日導いた公式

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\sum_{r=0}^p\binom{n}{r} \binom{m}{p-r}
    = \binom{m+n}{p} & (p \le m+n) \\
  &\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2
    = \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \\
  &\sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}^2
    = n\binom{2n-1}{n} = \frac{(2n-1)!}{\left\{(n-1)!\right\}^2} \\
  &\sum_{r=0}^p \binom{m}{r}\binom{n}{r}
    = \binom{m+n}{n} = \binom{m+n}{m} \\
  &\sum_{r=0}^p \binom{n}{r}\binom{n}{m+r}
    = \binom{2n}{n-m} = \frac{(2n)!}{(n+m)!(n-m)!} & (m \le n) \\
  &\sum_{r=0}^n (-1)^r\frac{n(n+r-1)!}{(r!)^2(n-r)!}
    = 1 + \sum_{r=1}^n\frac{ (-1)^r}{(r!)^2}\prod_{k=0}^{r-1}(n^2-k^2)  = 0
\end{align*}}

級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)

級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)

*1:0を含む