倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

単位球体内と単位球面上の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ(目次) & 倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 今回は、今まで出てきた公式をまとめておきます。 ついでに単位球面上の一様分布 (uniform distribution on the unit sphere) も見ていきます。 これは単に、単位球体内の一様分布で半径に関連する変数 { R } を 1 においたものです。

以下では、変数 { X \in [a,\,b] } (開区間 { [a,\,b) } でも OK)に対して、{ \tilde{X} }区間 { [a,\,b] } 間に一様分布する変数とします。

単位球体内の一様分布

まずは単位球体内の一様分布。 4次元までの導出は前回までにやりました。 ここでは2, 3次元のものも倭式極座標に合わせた形も載せておきました。

2次元球体
2次元球体は円盤ですね。 導出は『単位球体内の一様分布 : 2次元』を参照。

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x = \sqrt{\tilde{R}} \cos\tilde{\theta} \\
        y = \sqrt{\tilde{R}} \sin\tilde{\theta}
    \end{cases} & 
    \begin{pmatrix}
        0 \le R \le 1 \\
        0 \le \theta < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

倭式極座標に合わせて書くと以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = \sqrt{\tilde{R}} \sin\tilde{\varphi} \\
        x_2 = \sqrt{\tilde{R}} \cos\tilde{\varphi}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le R \le 1 \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

本質的には同じですが。

3次元球体
3次元球体は普通の球ですね。 導出は『単位球体内の一様分布 : 3次元』を参照。

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2}\cos\tilde{\varphi} \\
        y = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2} \sin\tilde{\varphi} \\
        z = \sqrt[3]{\tilde{R}}\,\tilde{\Theta}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le R \le 1 \\
        -1 \le \Theta \le 1 \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

倭式極座標に合わせて書くと以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = \sqrt[3]{\tilde{R}}\,\tilde{\Psi} \\
        x_2 = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2}\sin\tilde{\varphi} \\
        x_3 = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le R \le 1 \\
        -1 \le \Psi \le 1 \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

まぁ、ちょっと文字と順番変えた程度ですな。

4次元球体
導出は『単位球体内の一様分布 : 4次元』を参照。

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = \sqrt[4]{\tilde{R}}\sqrt{\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_1 \\
        x_2 = \sqrt[4]{\tilde{R}}\sqrt{\tilde{\Theta}}\cos\tilde{\varphi}_1 \\
        x_3 = \sqrt[4]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_2 \\
        x_4 = \sqrt[4]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}} \cos\tilde{\varphi}_2
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le R \le 1 \\
        0 \le \Theta \le 1 \\
        0 \le \varphi_* < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

5次元球体
導出してない5次元のも載せておきましょうかね:

  { \displaystyle\begin{align*}
  &\begin{cases}
    x_1 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \tilde{\Psi} \\
    x_2 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \sin\tilde{\varphi}_1 \\
    x_3 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}_1 \\
    x_4 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \sin\tilde{\varphi}_2 \\
    x_5 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \cos\tilde{\varphi}_2
  \end{cases} &
  \begin{pmatrix}
    0 \le R \le 1 \\
    -1 \le \Psi < 1 \\
    0 \le \Theta \le 1 \\
    0 \le \varphi_* < 2\pi
  \end{pmatrix}
\end{align*}}

単位球面上の一様分布

単位給面上の一様分布は、上記の単位球体内の一様分布で { R=1 } とおくだけです。 次元が1つずれますが。

1次元球面
これは円周ですね:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x = \cos\tilde{\theta} \\
        y = \sin\tilde{\theta}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le \theta < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

倭式極座標に合わせた形:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = \sin\tilde{\varphi} \\
        x_2 = \cos\tilde{\varphi}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

2次元球面
これは通常の球面です:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2}\cos\tilde{\varphi} \\
        y = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2} \sin\tilde{\varphi} \\
        z = \tilde{\Theta}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        -1 \le \Theta \le 1 \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

倭式極座標に合わせた形:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases} x_1 = \tilde{\Psi} \\
        x_2 = \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2}\sin\tilde{\varphi} \\
        x_3 = \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        -1 \le \Psi \le 1 \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

3次元球面
3次元球面は一般相対論とかポアンカレ予想ポアンカレ-ペレルマンの定理?)とかで出てきますね。 まぁ、関係ないけど:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = \sqrt{\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_1 \\
        x_2 = \sqrt{\tilde{\Theta}}\cos\tilde{\varphi}_1 \\
        x_3 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_2 \\
        x_4 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}} \cos\tilde{\varphi}_2
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le \Theta \le 1 \\
        0 \le \varphi_* < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

4次元球面
4次元球面は、カルツァ-クライン理論とかで出てくるかな。 なんか、使えないかなぁ。 それはともかく:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \tilde{\Psi} \\
        x_2 = \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \sin\tilde{\varphi}_1 \\
        x_3 = \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}_1 \\
        x_4 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \sin\tilde{\varphi}_2 \\
        x_5 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \cos\tilde{\varphi}_2
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        -1 \le \Psi < 1 \\
        0 \le \Theta \le 1 \\
        0 \le \varphi_* < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

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