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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ベクトルの公式あれこれ ~大学編~

大学の理系学部初期に線型代数や物理数学で出てくるベクトルの公式をいくつか紹介 & 証明

参考

準備

ここでは3次元のベクトルのみを扱い太字で書きます。 成分を書き下す場合は縦ベクトルとして書きます:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}
\end{align*}}

ベクトルの成分を参照する場合はベクトルを角括弧 [] で囲んで添字を下付けします:

  { \displaystyle\begin{align*}
  [\textbf{a}]_i = a_i
\end{align*}}

 { \delta_{ij} }クロネッカーデルタ、 { \varepsilon_{ijk} } を完全反対称シンボルとし、繰り返された添字については和をとるとします(アインシュタイン規約)。 2つの完全反対称シンボルの添字1つずつ縮約すると以下の公式を満たします:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}
    = \delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell}
\end{align*}}

また、2つのベクトルの内積 { \cdot } による)と外積 { \times } による)を以下のように定義します:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textbf{a}\cdot\textbf{b}
    &= a_ib_i \\
    &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\
  \textbf{a}^2 
    &= a_ia_i = |\textbf{a}|^2 \\[2mm]
  \textbf{a}\times\textbf{b}
    &= \begin{pmatrix}
      a_2b_3 - a_3b_2 \\
      a_3b_1 - a_1b_3 \\
      a_1b_2 - a_2b_1
  \end{pmatrix}
  \qquad
  [\textbf{a}\times\textbf{b}]_i = \varepsilon_{ijk}a_jb_k
\end{align*}}

さて、これらを踏まえてベクトルが満たすいくつかの公式を証明していきましょう。 成分の表式を直接使って証明した方が簡単なものもありますが、あえて添字を抽象化して計算しているものもあります。

成分の2次

  { \displaystyle\begin{align*}
  &(\textbf{a} + \textbf{b}) \times (\textbf{a} - \textbf{b})
    = 2 \textbf{b}\times\textbf{a} = - 2 \textbf{a}\times\textbf{b} \\
  &(\textbf{a} - \textbf{b}) \times (\textbf{b} - \textbf{c})
    = \textbf{a}\times\textbf{b} + \textbf{b}\times\textbf{c} + \textbf{c}\times\textbf{a} \\
\end{align*}}


1つ目

  { \displaystyle\begin{align*}
  [(\textbf{a} + \textbf{b}) \times (\textbf{a} - \textbf{b})]_i
    &= \varepsilon_{ijk}(a_j + b_j)(a_k - b_k) \\
    &= \varepsilon_{ijk}(a_ja_k - a_jb_k + b_ja_k + b_jb_k ) \\
    &= -\varepsilon_{ijk}a_jb_k - \varepsilon_{ikj}a_kb_j \\
    &= [-2\textbf{a}\times\textbf{b}]_i = [2\textbf{b}\times\textbf{a}]_i
\end{align*}}

2つ目

  { \displaystyle\begin{align*}
  [(\textbf{a} - \textbf{b}) \times (\textbf{b} - \textbf{c})]_i
    &= \varepsilon_{ijk}(a_j - b_j)(b_k - c_k) \\
    &= \varepsilon_{ijk}(a_jb_k - b_jb_k - a_jc_k + b_jc_k ) \\
    &= \varepsilon_{ijk}(a_jb_k - a_jc_k + b_jc_k) \\
    &= [\textbf{a}\times\textbf{b} + \textbf{b}\times\textbf{c} + \textbf{c}\times\textbf{a} ]_i
\end{align*}}

成分の3次

  { \displaystyle\begin{align*}
  (\textbf{a} \times \textbf{b}) \cdot \textbf{c}
    &= (\textbf{b} \times \textbf{c}) \cdot \textbf{a}
    = (\textbf{c} \times \textbf{a}) \cdot \textbf{b}
    = \begin{vmatrix}
      a_1 & b_1 & c_1 \\
      a_2 & b_2 & c_2 \\
      a_3 & b_3 & c_3 \\
    \end{vmatrix}
\end{align*}}

  { \displaystyle\begin{align*}
  &(\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c}
    = - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a} + (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b} \\
  & (\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c}
    +(\textbf{b} \times \textbf{c}) \times \textbf{a}
    +(\textbf{c} \times \textbf{a}) \times \textbf{b} = \textbf{o}
\end{align*}}


1つ目

  { \displaystyle\begin{align*}
   (\textbf{a} \times \textbf{b}) \cdot \textbf{c}
    &= \varepsilon_{ijk}a_jb_kc_i \\
    &= \varepsilon_{jki}a_jb_kc_i \\
    &= \begin{vmatrix}
      a_1 & b_1 & c_1 \\
      a_2 & b_2 & c_2 \\
      a_3 & b_3 & c_3 \\
    \end{vmatrix}
\end{align*}}

他の式は同様に導けるので略。

2つ目

  { \displaystyle\begin{align*}
  [(\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c}]_i
    &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{j\ell m}a_\ell b_m c_k \\
    &= ( - \delta_{i\ell}\delta_{km} + \delta_{im}\delta_{k\ell})a_\ell b_m c_k \\
    &=  - a_i b_kc_k + a_k b_i c_k \\
    &= [ - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a} + (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}]_i
\end{align*}}

3つ目
2つ目の式で  { \textbf{a},\,\textbf{b},\,\textbf{c} } をサイクリックに入れ替えて、

  { \displaystyle\begin{align*}
(\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c} &= - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a} + (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b} \\
(\textbf{b} \times \textbf{c}) \times \textbf{a} &= - (\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b} + (\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c} \\
(\textbf{c} \times \textbf{a}) \times \textbf{b} &= - (\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c} + (\textbf{c}\cdot\textbf{b})\textbf{a}
\end{align*}}

辺々をそれぞれ加えると

  { \displaystyle\begin{align*}
  (\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c}
    +(\textbf{b} \times \textbf{c}) \times \textbf{a}
    +(\textbf{c} \times \textbf{a}) \times \textbf{b} = \textbf{o}
\end{align*}}

成分の4次

  { \displaystyle\begin{align*}
  &(\textbf{a}\times\textbf{b})^2 + (\textbf{a}\cdot\textbf{b})^2
    = (\textbf{a}\cdot\textbf{a})(\textbf{b}\cdot\textbf{b}) \\
  &(\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d})
    = (\textbf{a}\cdot\textbf{c})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) \\
  &(\textbf{b}\times\textbf{c}) \cdot (\textbf{a}\times\textbf{d})
    + (\textbf{c}\times\textbf{a}) \cdot (\textbf{b}\times\textbf{d})
    + (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) = 0
\end{align*}}


1つ目

  { \displaystyle\begin{align*}
  (\textbf{a}\times\textbf{b})^2 + (\textbf{a}\cdot\textbf{b})^2
    &= (\varepsilon_{ijk}a_jb_k)^2 + (a_ib_i)^2 \\
    &= \varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{i\ell m}a_\ell b_m + (a_ib_i)^2 \\
    &= (\delta_{j\ell}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{k\ell})a_jb_ka_\ell b_m - (a_ib_i)^2 \\
    &= a_jb_ka_jb_k - a_jb_ka_kb_j - a_ib_ia_jb_j \\
    &= a_jb_ka_jb_k \\
    &= (\textbf{a}\cdot\textbf{a})(\textbf{b}\cdot\textbf{b})
\end{align*}}


2つ目

  { \displaystyle\begin{align*}
  (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d})
    &= \varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{i\ell m}c_\ell d_m \\
    &= (\delta_{j\ell}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{k\ell})a_jb_kc_\ell d_m \\
    &= a_jb_kc_jd_k - a_jb_kc_kd_j \\
    &= (\textbf{a}\cdot\textbf{c})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})(\textbf{a}\cdot\textbf{d})
\end{align*}}

3つ目
2つ目の式で  { \textbf{a},\,\textbf{b},\,\textbf{c} } をサイクリックに入れ替えて

  { \displaystyle\begin{align*}
  (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d})
    = (\textbf{a}\cdot\textbf{c})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) \\
  (\textbf{b}\times\textbf{c}) \cdot (\textbf{a}\times\textbf{d})
    = (\textbf{b}\cdot\textbf{a})(\textbf{c}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{c}\cdot\textbf{a})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) \\
  (\textbf{c}\times\textbf{a}) \cdot (\textbf{b}\times\textbf{d})
    = (\textbf{c}\cdot\textbf{b})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{a}\cdot\textbf{b})(\textbf{c}\cdot\textbf{d}) \\
\end{align*}}

辺々をそれぞれ加えると

  { \displaystyle\begin{align*}
  (\textbf{b}\times\textbf{c}) \cdot (\textbf{a}\times\textbf{d})
    + (\textbf{c}\times\textbf{a}) \cdot (\textbf{b}\times\textbf{d})
    + (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) = 0
\end{align*}}

理論電磁気学

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齋藤正彦線型代数学

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